§ 250. Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение, связывающее удовлетворяющееся значениями определяет у как неявную функцию Для нахождения производной в точке не нужно искать явное выражение

функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение

Замечание. Уравнение, связывающее может определять у как многозначную функцию Но задание пары значений выделяет из многих значений функции одно.

Геометрически: прямая, параллельная (рис. 241), может пересекать линию в нескольких точках но задание точки выделяет проходящую через нее дугу которая представляет однозначную функцию.

Пример 1. Найти производную неявной функции, заданной уравнением в точке Первый способ. Решив уравнение, получим: (выбираем знак минус, так как при должны иметь ). Теперь находим:

Второй способ. Приравнивая дифференциалы правой и левой частей, находим:

откуда

Мы нашли угловой коэффициент касательной к окружности (рис. 242) в точке Угловой коэффициент радиуса есть Произведение угловых коэффициентов равно -1, т. е.

Рис. 241

Пример 2. Найти производную неявной функции, заданной уравнением

Дифференцируя, находим:

отсюда

Уравнение (2) представляет эллипс. В силу (3) угловой коэффициент касательной (рис. 243) есть Угловой коэффициент диаметра есть Произведение угловых коэффициентов равно Значит (§ 55), направления и сопряженные, т. е. диаметр делит пополам хорды, параллельные .

Тем же свойством обладают диаметры гиперболы и параболы.

Рис. 242

Рис. 243