§ 389. Непрерывность суммы ряда
Теорема. Если все члены функционального ряда
равномерно сходящегося в промежутке 
являются (в этом промежутке) непрерывными функциями, то и сумма ряда (1) есть непрерывная функция в промежутке 
Пример 1. Все члены ряда
равномерно сходящегося в промежутке являются непрерывными функциями (§ 388). Следовательно, сумма ряда (2) есть функция, непрерывная при всяком значении 
.
Замечание. Сумма неравномерно сходящегося ряда непрерывных функций в одних случаях непрерывна, в других разрывна.
Пример 2. Все члены ряда
сходящегося в замкнутом промежутке 
неравномерно, являются непрерывными функциями (§ 385). Но сумма ряда есть функция, разрывная при 
(см. § 384, пример 3).
Пример 3. Ряд
с общим членом
сходится в замкнутом промежутке 
неравномерно, но имеет непрерывную сумму 
тождественно равную нулю.
Действительно, мы имеем 
и для каждого отдельного значения 
промежутка 
это выражение стремится к нулю, так что ряд сходится и имеет сумму 
Но остаток ряда 
нельзя сделать меньшим чем 
сразу для всех рассматриваемых значений 
так как, каково бы ни было 
остаток равен 
при 
Следовательно, сходимость ряда (4) — неравномерная (§ 385). Между тем его сумма 
есть непрерывная функция.
Геометрически: графики всех частичных сумм 
(рис. 405) имеют «горбы» на прямой 
так что ни
один график не помещается целиком внутри полосы между прямыми 
Это не мешает сумме ряда (изображаемой жирным отрезком оси 
быть непрерывной функцией.
Рис. 405
