§ 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции

Определение. Пусть функция определена в промежутке Она называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется:

Такова четная степень (откуда и термин «четная функция»), таковы функции и др.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента меняется только знак функции, а абсолютное значение остается тем же:

Такова нечетная степень таковы функции и др.

График четной функции симметричен относительно оси нечетной — относительно начала координат О.

Замечание 1. Интегралы для четной функции равны между собой, для нечетной — отличаются знаками. Поэтому для четной функции имеем:

а для нечетной

Замечание 2. Ряд Фурье для четной функции не содержит синусов; коэффициенты Фурье равны

(ср. замечание 1). Ряд Фурье для нечетной функции не содержит косинусов и свободного члена; коэффициенты Фурье равны

Пример 1. Функция рассмотренная в примере § 416, — нечетная. Ее ряд Фурье не содержит косинусов и свободного члена. Коэффициенты равны

Пример 2. Функция четная; значит, ее ряд Фурье не будет содержать синусов. Коэффициент равен

При получаем:

Следовательно, ряд Фурье для функции будет

Функция удовлетворяет условию теоремы § 416. Значит, ряд (10) сходится всюду. Его сумма равна для всякого значения внутри промежутка Более того, поскольку функция четная, сумма ее ряда Фурье равна также и на концах промежутка Действительно, для четной функции имеем так что среднее арифметическое между значениями совпадает с каждым из этих значений. Таким образом, имеем:

В частности, подставляя в (10а) одно из значений или найдем, что

Ряд (11) и вообще ряд (10а) сходится плохо, хотя и лучше, чем ряд (5) § 416 (ср. графики на рис. 422 и 424).

На рис. 424 дан график частичной суммы ряда (10):

в промежутке Ломаная линия, около которой колеблется линия есть график суммы ряда (10). На рис. 425 изображен график суммы в промежутке Там же изображен (двумя лучами, исходящими из точки О) график функции . В замкнутом промежутке функции совпадают.

Рис. 424

Рис. 425

Замечание 3. Функцию можно представить формулой

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию (рис. 426).

Решение. Данная функция четная; поэтому имеем:

Для вычисления при дважды интегрируем по частям:

Рис. 426

В промежутке включая концы (ср. пример 2), имеем:

При получаем соответственно:

Почленно складывая (14) и (15), снова получим (11).