§ 105. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обращается в нуль, если один из сомножителей есть нуль-вектор или если векторы перпендикулярны.

Вытекает из (1) § 104.

Пример. так как основные векторы а значит, и векторы перпендикулярны.

Замечание. В обычной алгебре из равенства следует, что-либо либо Для скалярного произведения это свойство не имеет силы.

2. (переместительное свойство).

Вытекает из (1) § 104.

3. (распределительное свойство).

Это свойство имеет место для любого числа слагаемых; например, при трех слагаемых

Вытекает из (2) § 104 и из (3) § 93.

4. (сочетательное свойство относительно скалярного множителя)

Примеры.

Свойство 4 выводится из (1) § 104 (удобно рассмотреть отдельно случаи

4а. Примеры.

Свойство 4а вытекает из предыдущего свойства.

Свойства 2, 3, 4а позволяют применять к скалярным произведениям те же преобразования, которые выполняются в алгебре над произведениями многочленов. Пример 1.

(в силу свойств 3 и 4).

Пример 2.

(в силу свойств 3 и 4а).

Пример 3. Вычислить выражение где основные векторы.

Решение. Так как векторы к взаимно перпендикулярны, то кроме того,

(модуль основного вектора равен единице). Поэтому

5. Если векторы коллинеарны, то (знак если имеют одно и то же направление, знак если противоположное). 5а. В частности,

Скалярное произведение обозначается (скалярный квадрат вектора а), так что

(скалярный квадрат вектора есть квадрат его модуля).

Замечание 1. Скалярного куба (и тем более высших степеней) в векторной алгебре нет (ср. § 104, замечание 2).

Замечание есть положительное число (квадрат длины вектора); из него можно извлечь корень любой степени, в частности, квадратный корень

(длина вектора а). Однако нельзя вместо писать а, так как а — вектор, а число. Правильный результат будет: