§ 178. Гиперболический параболоид
Поверхность, представляемая уравнением
называется гиперболическим параболоидом (рис. 196).
Сечения плоскостями 
и 
(главные сечения) есть параболы 
В противоположность главным сечениям эллиптического параболоида (§ 177) параболы (2) и (3) обращены вогнутостью в противоположные стороны (парабола 
— «вверх», парабола 
«вниз»). Поверхность (1) имеет седлообразный вид.
Сечение гиперболического параболоида (1) плоскостью 
представляется уравнением
Это — пара прямых 
(§ 58, пример 1).
Рис. 196
Плоскости 
параллельные 
пересекают гиперболический параболоид по гиперболам
При 
действительная ось у этих гипербол (например, у гиперболы 
параллельна оси 
при 
(гипербола 
действительная ось параллельна 
Все гиперболы (5), лежащие по одну сторону от плоскости 
подобны друг другу; они попарно сопряжены (§ 47) с гиперболами (5), лежащими по другую сторону от 
Гиперболический параболоид не имеет центра; он симметричен относительно плоскостей 
и 
и относительно оси 
Прямая 
называется осью гиперболического параболоида, точка О — его вершиной, величиныр и 
параметрами.
Замечание 1. Ни при каких значениях 
гиперболический параболоид (в отличие от вышерассмотренных поверхностей второго порядка) не является поверхностью вращения.
Замечание 2. Гиперболический параболоид, как и эллиптический, можно образовать параллельным переносом одного главного сечения (например, 
вдоль другого 
Но теперь подвижная и неподвижная параболы обращены вогнутостями в противоположные стороны.
Пример. Поверхность 
есть гиперболический параболоид; оба главных сечения — параболы, равные между собой, но обращенные в противоположные стороны. Поверхность можно образовать параллельным смещением одной из этих парабол вдоль другой. Сечение плоскостью 
равносторонняя гипербола с полуосями 
При 
она обращается в пару перпендикулярных прямых 
Если эти прямые принять за координатные оси 
то рассматриваемый гиперболический параболоид представится уравнением 
представляет тот же гиперболический параболоид, что и уравнение 
только в первом случае оси 
совпадают с прямолинейными образующими (§ 180), проходящими через вершину.
