§ 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка
Чтобы найти уравнения двух прямых, вместе составляющих распадающуюся линию второго порядка
(условие распадения см. § 64), достаточно разложить левую часть (1) на множители первой степени. Когда хотя бы один из коэффициентов 
не равен нулю, лучше всего прямо решить уравнение (1) относительно той из букв х, у, которая входит туда во второй степени. Два решения (они могут и совпадать) представят две искомые прямые.
Пример 1. Линия второго порядка
является распадающейся, так как большой дискриминант
равен нулю. Уравнение (2) можно решать относительно любой из букв х, у (обе входят во второй степени). Представив (2) в виде
решаем его относительно у; получаем:
т. е.
Одна из прямых представляется уравнением 
другая — уравнением 
Эти прямые параллельны (ср. пример 3 §§ 61—62).
Пример 2. Линия второго порядка
распадается, так как
Представив (3) в виде
находим:
Подкоренное выражение равно 
Следовательно, 
Одна из прямых представляется уравнением 
другая — уравнением 
Эти прямые пересекаются в точке 
Пример 3. Линия
распадается, так как
В уравнение (4) как 
так и у входят только в первой степени. Поэтому разлагаем левую часть (4) на множители, группируя члены. Получаем:
Линия (4) распадается на прямые: 
.
Замечание 1. В случае 
можно тоже решать данное уравнение относительно 
или 
так, в примере 3 получим 
но дальше делить обе части на 
можно лишь в том случае, когда 
не равно нулю. Тогда получаем 
уравнение одной из прямых есть 
т. е. 
. В случае, когда 
, т. е. 
уравнение 
удовлетворяется при любом значении у; таким образом, получаем другую прямую 
т. е. 
.
Замечание 2. Вычисления, проделанные в примерах 1 и 2, можно выполнить для любого уравнения вида (1), если только 
Проделав эти выкладки в общем виде, получим под радикалом квадратный трехчлен
Он будет полным квадратом в том и только в том случае, если
После простых преобразований увидим, что левая часть равенства (6) равна 
где А — большой дискриминант. Так как, по предположению, 
то признак распадения есть 
. В случае, когда 
но 
мы приходим к тому же выводу, поменяв ролями 
Так доказывается признак § 64 для общего случая. В исключительном же случае, когда 
(и, стало быть, 
), левая часть уравнения (1) принимает вид
Представим этот многочлен в виде 
Это выражение разлагается на множители первой степени только в том случае, когда у двучленов 
соответствующие коэффициенты равны или пропорциональны (см. пример 3), т. е. когда
Но в рассматриваемом случае большой дискриминант 
имеет вид в 
а отсюда следует, что 
Так доказывается признак § 64 в исключительном случае.
