§ 394. Нахождение радиуса сходимости

Теорема. Радиус сходимости степенного ряда

равен пределу отношения при условии, что

этот предел (конечный или бесконечный) существует:

Пример 1. Найти радиус и область сходимости ряда

Решение. Здесь Имеем:

Радиус сходимости равен 10, промежуток сходимости есть Внутри этого промежутка ряд (3) сходится, вне его — расходится. При ряд (3) принимает вид

Этот ряд сходится (§ 369, пример 4). При получаем расходящийся ряд (§ 369, пример 3)

Следовательно, область сходимости есть промежуток в который включается конец другой конец исключается.

Пояснение. Будем рассматривать как данное число и применим к ряду (3) признак Даламбера (§ 378). Имеем:

По признаку Даламбера ряд (3) сходится, когда т. е. когда и расходится, когда т. е. когда .

Буквально повторяя это рассуждение применительно к ряду (1), получим формулу (2).

Замечание 1. Сумма ряда (3) (в области сходимости) равна (ср. § 393, пример 3). Пример 2. Найти радиус сходимости ряда

Решение. Здесь По формуле (2) имеем:

Ряд (6) сходится во всех точках. Его сумма равна (ср. § 272, пример 1).

Замечание 2. Если ряд (1) содержит бесчисленное множество коэффициентов, равных нулю, то отношение не имеет предела, и формулу (2) применять нельзя, даже если выкинуть нулевые коэффициенты и заново пронумеровать остальные по порядку. Пример 3. Найти радиус сходимости ряда

получающегося из ряда (3) подстановкой

Решение. Так как ряд (3) сходится при и расходится при то ряд (8) сходится при

и расходится при Значит, радиус сходимости ряда (8) есть Формула (2) неприменима: если учитывать нулевые коэффициенты при нечетных степенях 2, то отношение не имеет смысла при четных если же выкинуть нулевые коэффициенты и пронумеровать остальные по порядку, то предел отношения будет равен 10 и не даст радиуса сходимости.

Сумма ряда (8) (в области сходимости) есть