§ 338. Длина дуги плоской линии

Длина дуги плоской линии выражается (в прямоугольных координатах) формулой

где какой-либо параметр, через который выражены текущие координаты

Если параметр еще не выбран, то формулу (1) удобнее записать так:

Обозначения указывают, что в качестве пределов интегрирования должны быть взяты такие значения параметра, которые соответствуют концам дуги

В частности, за параметр часто удобно принять абсциссу Тогда имеем:

Пояснение. Бесконечно малая дуга эквивалентна хорде (рис. 372). С другой стороны,

Следовательно,

Значит, выражение (оно пропорционально приращению аргумента есть элемент (дифференциал) дуги АВ. Согласно п. 4 схемы § 334 мы получаем формулу (2).

Нахождение длины дуги называют спрямлением дуги.

Пример. Найти длину дуги одной ветви циклоиды (§ 253)

Решение.

Длина одной ветви циклоиды равна учетверенному диаметру производящего круга.

Если вычислить общую длину двух ветвей циклоиды по формуле получим нуль. Ошибка вызвана тем, что в промежутке имеем:

Рис. 372

Замечание. Когда мы измеряем длину кривой тропинки шагами или длину нанесенной на карту извилистой реки с помощью масштаба, мы по существу исходим из убеждения об эквивалентности дуги и хорды. Таким образом, это свойство подсказывается повседневным опытом. Но если мы не хотим принимать это свойство за аксиому, а желаем доказать математически, то нам надо исходить из какого-либо определения длины дуги. Это понятие обычно определяют следующим образом.

Определение. Длина дуги плоской или пространственной линии есть предел, к которому стремится периметр ломаной линии, вписанной в дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев стремятся к нулю.

Исходя из этого определения, можно доказать, что Из него же непосредственно выводится и формула (1), так что схема § 334 как будто вовсе не используется. Но по существу эта схема «спрятана» в самом определении.

Длину дуги можно определять и иначе, — например как предел описанной ломаной линии. Это определение равносильно предыдущему.