§ 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx

Определение 1. Две функции называются ортогональными в промежутке если интеграл произведения взятый в пределах от а до равен нулю.

Пример 1. Функции

ортогональны в промежутке так как

Пример 2. Функции

ортогональны в промежутке так как

Теорема. Любые две различные функции, взятые из системы функций

ортогональны в промежутке т. е.

( любые натуральные числа).

Доказательство — по образцу примеров 1,2. Замечание 1. Если вместо двух различных функций системы (1) взять две одинаковые, то интеграл в пределах от равен для всех функций системы (1), кроме первой, для которой он вдвое больше:

Формулы (6) получаются с помощью преобразований

Замечание 2. Формулы сохраняют силу для любого интервала длиной . Например,

Определение 2. Если в какой-либо системе функций каждые две функции ортогональны, то и сама система называется ортогональной. В силу теоремы настоящего параграфа система (1) ортогональна в промежутке (а также в любом промежутке длиной ).