§ 311. Интеграл от биномиального дифференциала
Биномиальным дифференциаломназывается выражение
где 
рациональные числа; 
постоянные, не равные нулю. Интеграл
выражается через элементарные функции в следующих трех случаях.
Случай 
целое число. Тогда интеграл подходит под тип § 310.
См. пример 2 § 310, где 
.
Случай 
дробь 
но 
— целое 
число. Тогда интеграл рационализируется подстановкой
(s - знаменатель дроби р).
Пример 1. 
.
Здесь 
целое число. Полагаем
Можно выразить 
через 
и подставить в (2). Но проще продифференцировать (3):
и преобразовать I с помощью формул (3) и (4) следующим образом:
где 
.
Случай 3. Оба числа 
— дробные, но их сумма 
целое число.
Тогда интеграл рационализируется подстановкой
(s - знаменатель дроби р).
Пример 2. 
Здесь 
. Полагаем
Представив 
в виде 
получаем:
Рассмотренные три случая были указаны еще И. Ньютоном. Л. Эйлер, которого никто из когда-либо живших математиков не превзошел в искусстве преобразований, безуспешно искал новые случаи интегрируемости биномиального дифференциала. Он пришел к убеждению, что эти три случая единственные. Но лишь П. Л. Чебышев в 1853 г. доказал утверждение Эйлера. Д. Д. Мордухай-Болтовскойв 1926 г. доказал соответствующую теорему для интеграла вида (1) при иррациональных показателях 
.
