§ 19. Пересечение прямых

Для нахождения точки пересечения прямых

надо решить систему уравнений (1) и (2). Эта система, как правило, даст единственное решение, и мы получим искомую точку (§ 9). Исключение возможно лишь при равенстве отношении — т. е. в случае параллельности данных прямых (см. § 18, замечания 2 и 3).

Замечание. Если данные прямые параллельны и не совпадают, то система (1)-(2) не имеет решений, а если совпадают, то решений бесконечно много.

Пример 1. Найти точки пересечения прямых Решая систему уравнений, находим Прямые пересекаются в точке (1; -1).

Пример 2. Прямые параллельны и не совпадают, так как отношения равны между собой, но не равны отношению (ср. пример 4 § 18). Данная система уравнений не имеет решения.

Пример 3. Прямые совпадают, так как отношения

равны друг другу. Второе уравнение получается из первого умножением на 2. Данная система имеет бесчисленное множество решений.