§ 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную)

В подынтегральное выражение можно ввести вместо вспомогательную переменную связанную с некоторой зависимостью. Пусть преобразованное выражение есть тогда Если интеграл принадлежит к табличным или сводится к ним легче, чем исходный, то преобразование достигает цели.

На вопрос, как выбрать удачную подстановку, общего ответа дать нельзя (ср. § 309); правила для важных частных случаев даны ниже в связи с примерами.

Пример 1.

Среди табличных интегралов подходящего нет, но по формуле I можно вычислить интеграл сходный с данным. Поэтому пробуем ввести вспомогательную переменную связанную с зависимостью

Дифференцируя (1), получаем:

Подынтегральное выражение преобразуется с помощью (1) и (2) к виду и мы получаем:

Возвращаясь к переменной находим:

Проверяя дифференцированием, получаем:

Здесь функция снова использована как вспомогательная (ср. § 237).

Замечание 1. В простых случаях не нужно вводить новую букву. Так, в примере 1, где взята вспомогательная функция находим в уме ее дифференциал Вводим в подынтегральное выражение перед множитель 2; для компенсации ставим перед интегралом. Получаем:

Правило 1. Если подынтегральная функция (как в примере 1) имеет вид то может оказаться полезной подстановка .

Пример 2. .

Вводим вспомогательную функцию отсюда . Находим:

Пример 3.

Берем в качестве вспомогательной функции. Не вводя для нее буквенного обозначения (см. замечание 1), находим (с помощью II):

Пример 4. (вспомогательная функция ).

Пример 5.

Правило 2. Пусть подынтегральное выражение разбито на два сомножителя и в одном из них легко распознать дифференциал некоторой функции Может оказаться, что после подстановки второй сомножитель превратится в такую функцию от которую мы умеем интегрировать. Тогда подстановка будет полезной.

Пример 6. .

Разобьем подынтегральное выражение на сомножители и Сомножитель оказывается

дифференциалом функции стоящей в знаменателе другого сомножителя. После подстановки сомножитель примет вид Эту функцию мы умеем интегрировать. Вычисление можно вести так:

Замечание 2. Внешнее сходство данного интеграла с табличным обманчиво. Наличие в числителе множителя существенно меняет вид первообразной функции.

Пример 7. .

Разбиваем подынтегральное выражение на сомножители Подстановка преобразует в функцию , которую мы умеем интегрировать. Вычисление ведется так:

Пример 8.

Сходство с табличным интегралом обманчиво. Вводим вспомогательную функцию Имеем т. е. Интеграл принимает вид

Вычисление ведется так:

Пример 9.

Вспомогательная функция Имеем:

Пример 10. .

Не всегда легко отличить удачную подстановку от неудачной. Это видно из примеров 11 и 12.

Пример 11. .

Здесь хороша подстановка Подынтегральное выражение разбиваем на сомножители

1). Получаем:

(ср. пример 4 § 299, где тот же интеграл был найден без подстановки).

Пример 12. .

Здесь подстановка неудачна: она дает интеграл более трудный, чем исходный. Данный интеграл лучше всего вычислять непосредственно, как в примере 4 § 299. Получим: .

Пример 13.

Пример 14.

Пример 15.

Пример 16.

Пример 17.

Пример 18. (вспомогательная функция ; подынтегральное выражение равно ).