§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

1. Пусть по условию вопроса аргумент непрерывной функции изменяется в бесконечном промежутке, например в промежутке Тогда может случиться так, что среди значений функции нет наибольшего (рис. 279, а), где неограниченно возрастает при Если же функция обладает наибольшим значением, то последнее непременно является одним из экстремумов функции; (рис. 279, б), где наибольшее значение функции есть

Пусть теперь по условию вопроса аргумент изменяется в замкнутом промежутке Тогда непременно принимает наибольшее значение (§ 221). Однако последнее может не принадлежать к экстремумам, а достигаться на одном из концов промежутка (в точке на рис. 279, в). Аналогично для наименьшего значения.

Рис. 279

2. Пусть требуется найти наибольшее (или наименьшее) значение геометрической или физической величины, подчиненной определенным условиям (см. ниже примеры). Тогда надо представить эту величину, как функцию какого-либо аргумента. Из условия задачи определяем промежуток изменения аргумента. Затем находим все критические значения аргумента, лежащие в этом промежутке, и вычисляем соответствующие значения функции, а также значения функции на концах промежутка. Из найденных значений выбираем наибольшее (наименьшее).

Замечание 1. Часто аргумент можно выбирать по-разному; удачный выбор может упростить решение. Учет особенностей задачи тоже может упростить решение.

Так, если внутри данного промежутка имеется лишь одно критическое значение аргумента и оно, на основании того или иного признака (см. §§ 277, 279) должно давать максимум (минимум), то и без сравнения с граничными значениями функции мы вправе заключить, что этот максимум (минимум) является искомым наибольшим (наименьшим) значением.

Пример 1. Отрезок делится на две части точкой на отрезках и (рис. 280), как на сторонах, строится прямоугольник Определить наибольшее значение его площади .

Рис. 280

Решение. Примем за аргумент длину тогда

Аргумент непрерывной функции изменяется в промежутке Из уравнения

находим (единственное) критическое значение Оно принадлежит данному промежутку Вычисляем значение граничные значения . Сопоставляя эти три значения, заключаем, что искомым наибольшим значением является .

В этом сопоставлении не будет необходимости, если заметить, что в единственной критической точке вторая производная функции отрицательна, т. е. (§ 279) функция имеет здесь максимум.

Переменный прямоугольник всегда имеет один и тот же периметр (2а). Значит, из всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет наибольшую площадь.

Замечание 2. Удобнее всего принять за аргумент расстояние от точки С до середины О отрезка (см. рис. 280). Тогда

и

Теперь не нужно искать экстремум, так как очевидно, не превосходит .

Пример 2. При условиях примера 1 найти наименьшее значение площади

Решение. Примем за аргумент Сравниваем единственный экстремум функции с ее значением на концах промежутка Находим, что нуль есть наименьшее значение (в замкнутом промежутке ).

Однако при мы не имеем прямоугольника (он превращается в отрезок АВ). Если рассматривать только «настоящие» прямоугольники, то концы промежутка надо исключить из рассмотрения, и тогда не имеет наименьшего значения (в незамкнутом промежутке

Пример 3. Найти наименьшую и наибольшую величины полупериметра прямоугольника с данной площадью

Решение. Обозначим стороны прямоугольника через х, у. По условию

(х и у - положительные величины). Требуется найти наименьшее и наибольшее значения величины

Примем за аргумент тогда

Аргумент изменяется в бесконечном промежутке (в него не входит конец х = 0). В этом промежутке функция непрерывна и имеет производную

Из уравнения

находим единственное (в данном промежутке) критическое значение

Из формулы (4) видно, что при производная отрицательна, а при положительна. Значит, имеем минимум (§ 277). Будучи единственным, он является (см. замечание 1) наименьшим значением полупериметра:

т. е. из всех прямоугольников с данной площадью наименьший полупериметр имеет квадрат

Наибольшего значения величина не имеет (данный промежуток ( незамкнутый).

Пример 4. Найти наименьшее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью (запас на швы не учитывать).

Решение. Пусть площадь поверхности банки радиус основания высота Требуется найти наименьшее значение величины

при условии, что

За аргумент удобно принять Из формул (7) и (8) находим:

где аргумент изменяется в промежутке По смыслу задачи ясно, что величина достигает наименьшего значения где-то внутри этого промежутка. Поэтому достаточно рассмотреть значения функции в критических точках. Решаем уравнение

Единственный его корень

соответствует наименьшему значению Из (8) и (11) находим: т. е. высота банки должна равняться диаметру основания. Наименьшее количество жести, необходимое для изготовления банки, равно

Пример 5 (парадокс Декарта). В 1638 г. Р. Декарт получил (через М. Мерсенна) письмо П. Ферма, где последний сообщил без доказательства открытое им правило нахождения экстремума. В переводе на современный язык правило Ферма сводится к нахождению значения обращающего в нуль производную исследуемой функции

В ответном письме Декарт привел нижеследующий пример, доказывающий, как он полагал, ложность правила Ферма. Пусть дана окружность

(рис. 281) и точка отличная от центра (т. е. ). Требуется найти на окружности (12) точку, ближайшую к А. Квадрат расстояния от произвольной точки до точки А выражается так:

Если же лежит на окружности (12), то

Рис. 281

так что

Чтобы найти значение дающее минимум величине Декарт следует правилу Ферма и получает нелепое равенство .

Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Из этого Декарт заключает, что признак минимума неверен. На самом деле точка не обнаруживается по другой причине: соответствующее ей наименьшее значение не является минимумом. Действительно, изменяется только в промежутке Рассматриваемая функция принимает наименьшее значение на конце промежутка.

Пример 6. Группа соревнующихся пловцов направляется с лодки А (рис. 282) в расположенный на берегу пункт В. Условия соревнования разрешают часть пути сделать по суше. Лодка стоит против пристани О на расстоянии пункт назначения В отстоит от пристани на расстоянии Какой наилучший результат может показать участник соревнования, если он будет покрывать в минуту вплавь и в минуту бегом?

Решение. Пусть пловец выходит на берег в точке находящейся на расстоянии от пристани. Достаточно рассмотреть изменение в промежутке

Время (в минутах), затрачиваемое на путь равно

Здесь . Требуется найти наименьшее значение функции в промежутке

Имеем:

Рис. 282

Решив уравнение

найдем единственное критическое значение . Это значение лежит в рассматриваемом промежутке Так как вторая производная

в точке а (как и во всех других точках) положительна, то (§ 279, теорема 1) в этой точке имеем минимум. Будучи единственным, этот минимум дает (см. замечание 1) искомое наименьшее значение функции

Путь пловца показан на рис. 282 пунктирной линией.

Пример 6а. Решить ту же задачу, что и в примере 6, изменив в условии значение на (рис. 283).

Решение. Достаточно рассмотреть изменение в промежутке (0, 225). Так как корень уравнения (16) попадает за пределы этого промежутка, то функция теперь не имеет минимума внутри промежутка. Наименьшее значение она принимает на конце Здесь

Пловец должен плыть прямо к финишу.

Рис. 283

Рис. 284

Замечание 3. При решении последней задачи мы, руководствуясь здравым смыслом, рассмотрели изменение аргумента функции

(где а = 360, b = 225) лишь в промежутке (0, 225).

Но мы могли бы и расширить область изменения аргумента и рассмотреть, скажем, промежуток (0, 325). Тогда, рассуждая, как в примере 6, мы нашли бы, что функция (14) имеет минимум в точке (так как эта точка лежит в рассматриваемом промежутке, является единственным критическим значением функции (14) и дает минимум для этой функции).

Отсюда, казалось бы, можно заключить, что пловцу надо плыть к пункту более далекому, чем финиш В, что явно нелепо.

Ошибка в том, что функция (14) выражает зависимость от лишь на участке на участке же зависимость выражается формулой

(см. схематический график на рис. 284).

При обе формулы (14), (14) дают одно и то же значение, так что функция непрерывна при но производная — при не существует. Поэтому точка является теперь критической для функции (ср. § 278, замечание 1). Других критических точек в промежутке (0, 325) нет.