§ 404. Обратные гиперболические функции

Для гиперболических функций существуют обратные функции:

Arsh х (гиперболический ареасинус; рис. 413),

Arch х (гиперболический ареакосинус; рис. 414),

Arth х (гиперболический ареатангенс; рис. 415),

Arcth х (гиперболический ареакотангенс; рис. 416). Ср. графики гиперболических функций на рис. 409—412.

Латинское слово «ареа» (area) означает площадь. Основание для такого наименования выясняется в § 405.

Функция однозначно определена на всей числовой оси. Функция определена лишь на отрезке и здесь двузначна (значения ее равны по абсолютной величине и отличаются знаком). Обычно рассматриваются лишь положительные значения; соответствующая ветвь графика (главная ветвь) обозначена на рис. 414 сплошной линией. При этом условии функция становится однозначной.

Функции однозначны; первая определена лишь в (незамкнутом) промежутке вторая лишь вне промежутка Прямые служат асимптотами для обеих линий .

Рис. 413

Рис. 414

Рис. 415

Рис. 416

Обратные гиперболические функции выражаются через основные элементарные следующим образом:

верхние знаки в формуле (2) соответствуют главному значению Arch х;

Формулы дифференцирования и интегрирования.