§ 43. Гипербола

Определение. Гипербола (рис. 42) есть геометрическое место точек разность расстояний от которых до двух данных точек имеет одно и то же абсолютное значение (ср. определение эллипса § 41):

Точки называются фокусамигиперболы, расстояние фокусным расстоянием; оно обозначается через

Рис. 42

Так как то (ср. формулу (3) § 41)

Если ближе к фокусу чем к фокусу т. е. если (рис. 43), то вместо равенства (1) можно записать:

Если же ближе к чем к т. е. (см. рис. 42), то мы имеем:

Те точки, для которых образуют одну ветвь гиперболы (при обычном расположении рисунка — «правую»); те точки, для которых образуют другую ветвь («левую»).

Каноническое уравнение гиперболы. За ось ОХ принимаем (рис. 44) прямую за начало координат — середину О отрезка Согласно равенству (2) имеем Правая ветвь согласно (16) и § 10 представляется уравнением

Для левой же ветви согласно (1а) и § 10 имеем уравнение

Освобождаясь от радикалов, получим в обоих случаях:

или

Рис. 13

Рис. 55

Это уравнение равносильно паре уравнений (4а), (4б) и представляет обе ветви гиперболы сразу.

Уравнение (6) имеет тот же внешний вид, что и уравнение эллипса (ср. (6) § 41), но это сходство обманчиво, так как теперь вследствие неравенства (3) величина отрицательна, так что мнимая величина. Поэтому обозначим через величину

Тогда из (6) получаем каноническое уравнение гиперболы

Пример. Если разность расстояний по абсолютной величине равна см, а фокусное расстояние см, то см. Каноническое уравнение гиперболы есть