ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 292. Вводные замечания
1. Исторические сведения. Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод нахождения площадей, объемов и центров тяжести.
Такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17 веке в работах Б. Кавальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаля и других ученых. В 1659 г. И. Барроу установил связь между задачей о нахождении площади и задачей о нахождении касательной. И. Ньютон и Г. В. Лейбниц в 70-х годах 17 века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчислениями (см. ниже п. 3).
Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.
2. Понятие об интеграле. Пусть линия 
(рис. 320) задана уравнением
и надо найти площадь F «криволинейной трапеции» 
Разделим отрезок 
на 
частей 
(равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис. 320. Ее площадь равна
Если ввести обозначения
то формула (1) примет вид
Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большом 
Лейбниц ввел для этого предела обозначение
в котором 
(курсивное s) - начальная буква слова summa (сумма), а выражение 
указывает типичную форму отдельных слагаемых.
Выражение 
Лейбниц стал называть интегралом — от латинского слова integralis - целостный. Ж. Б. Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, придав ему вид
Здесь явно указаны начальное и конечное значения х.
Рис. 320
переменной величиной. В соответствии с этим изменим обозначение 
на 
Тогда интеграл
при неподвижной ординате 
и подвижной 
) будет функцией от 
Оказывается, что дифференциал этой функции равен 
