§ 509. Линия Кассини

1. Определение. Линией Кассини называется геометрическое место точек для которых произведение расстояний до концов данного отрезка равно квадрату данного отрезка а:

Точки называются фокусами; прямая называется осью линии Кассини; середина О отрезка центром.

2. Исторические сведения. Знаменитый астроном Джованни Доменико (Жан Доменик) Кассини (1625—1712) полагал, что линия, носящая теперь его имя, может точнее представить орбиту Земли, чем эллипс. Об этом стало известно в 1749 г. из публикации его сына Жака Кассини (тоже выдающегося астронома). Хотя гипотеза Кассини и не оправдалась, но введенная им линия стала предметом многочисленных исследований.

Ее часто называют овалом Кассини, хотя на самом деле она не всегда овальна (см. ниже).

3. Построение. На как на диаметре (рис. 491), строим окружность О. На ее касательной берем отрезок Отложив на оси от точки О отрезки равные получим точки линии Кассини, наиболее удаленные от центра .

Если как на рис. 491, то дополнительно строим окружность радиуса а с центром в О (на рис. 491 она проведена штриховой линией) и проводим к ней из касательную . В пересечении с основной окружностью получим точки От одного из фокусов, скажем, от отложим по направлению к О отрезки Получим точки наименее удаленные от центра .

Рис. 491

Рис. 492

Если же то наименее удаленные точки (рис. 492) лежат на оси симметрии отрезка на расстоянии от фокусов .

Точки назовем вершинами линии Кассини.

Через точку проводим (см. рис. 491) произвольную секущую основной окружности причем в случае ограничиваемся теми секущими, которые пересекают также дополнительную окружность Из фокуса как из центра, описываем окружность радиуса а из окружность радиуса Их точки пересечения принадлежат линии Кассини. Меняя ролями точки получим еще пару точек Искомая линия есть геометрическое место точек

4. Уравнение в прямоугольной системе (О — начало координат; — ось абсцисс):

Уравнение в полярной системе (О — полюс, ОХ - полярная ось):

или

Двойной знак берется, когда В противном случае берем только знак плюс (иначе будет мнимым).

5. Особенности формы. Линия Кассини симметрична относительно прямых ОХ и значит, относительно точки О.

При линия Кассини состоит из пары обособленных овалов. (На рис. 492 пара овалов соответствует значению пара значению При это замкнутая кривая (при линия при линия при — линия В граничном случае линия Кассини есть лемниската (ср. определение лемнискаты). Когда а, возрастая, стремится к с, вершины стремятся к совпадению с вершинами лемнискаты, а вершины с узловой точкой при этом правый овал превращается в правую петлю лемнискаты, а левый — в левую.

При дальнейшем возрастании отрезка а, когда он превышает с, но меньше линия Кассини на рис. 492) приобретает четыре симметрично расположенные точки перегиба будучи замкнутой, она, однако, не является овалом. Кривизна в вершинах бесконечно велика при бесконечной малости . Когда же , возрастая, стремится к кривизна в точках стремится к нулю.

Граничная линия Кассини, отвечающая соотношению на рис. 492), и все остальные линии являются овалами. Но граничный овал имеет

нулевую кривизну в вершинах этих точках попарно сливаются точки перегиба линии а в точках перегиба кривизна всегда равна нулю).

6. Наибольший поперечник. При т. е. для всех овалов, объемлющих граничный овал наибольший поперечник лежит на оси Всякая же линия Кассини, лежащая внутри граничного овала (как объемлемая лемнискатой, так и объемлющая ее), имеет два наибольших поперечника Они расположены симметрично с носительно ОУ и отстоят от центра О на расстояние

Их концы лежат на основной окружности О. Последняя является геометрическим местом тех точек, в которых касательные к линиям Кассини параллельны оси Каждая такая касательная является «двойной», т. е. она касается линии Кассини в двух точках симметричных относительно

7. Радиус кривизны:

В частности, в вершинах

8. Точки перегиба. Полярные координаты точек перегиба определяются по формулам

Геометрическое место точек перегиба есть лемниската с вершинами (на рисунке не изображена).

9. Построение касательной. Чтобы построить касательную к линии Кассини в ее точке N (см. рис. 491), продолжим отрезок за точку на расстояние Через точки проведем прямые и соответственно перпендикулярные и Точку их пересечения соединим с Прямая есть искомая касательная.

Если прямые пересекаются в недоступной точке, то отрезки можно пропорционально уменьшить.