ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ

§ 419. Функция двух аргументов

Определение. Величина называется функцией двух переменных величин х, у, если каждой паре чисел, которые могут (по условию вопроса) быть значениями переменных х, у, соответствует одно или несколько определенных значений величины При этом переменные величины х, у называются аргументами (ср. § 196, определение 1).

Однозначные и многозначные функции различаются так же, как и в определении 2, § 196.

Пример 1. Высота пункта на земной поверхности (над уровнем моря) есть функция географических координат — широты и долготы Широта может меняться в пределах от -90° до +90°, долгота — от -180° до +180°.

Пример 2. Произведение сомножителей есть функция двух аргументов Значения аргументов х и у могут быть произвольными.

Числовая плоскость. Для наглядности пара значений х, у изображается геометрически точкой отнесенной к прямоугольной системе координат Плоскость, на которой взята эта система, называется числовой плоскостью.

Выражение «точка равнозначно с выражением «пара значений аргументов х и у». Например, выражение «точка означает то же, что и выражение «пара значений . В соответствии с этим функция двух переменных называется функцией точки (см. § 457). Часто значение функции и по своему физическому смыслу определяется выбором точки на плоскости или на кривой поверхности (ср. пример 1).

Область определения функции. Пары тех чисел, которые (по условию вопроса) могут быть значениями аргументов х, у функции в совокупности составляют область определения этой функции.

Геометрически область определения изображается некоторой совокупностью точек плоскости

В примере 1 область определения функции аргументов есть множество точек числовой плоскости, лежащих внутри и на границе некоторого прямоугольника. Последний имеет 360 масштабных единиц в длину и 180 в ширину; стороны его параллельны осям координат, а центр совпадает с началом координат. В примере 2 область определения функции есть вся числовая плоскость.

Обозначения. Запись

(читается: «z равно эф от х, у») означает, что есть функция двух переменных Запись означает, что рассматривается значение функции в точке т. е. то значение функции, которое соответствует значениям аргументов (см. § 202). Вместо используют и другие буквы.

Иногда в качестве характеристики функции используют ту же букву, которой обозначается сама функция, т. е. пишут:

Замечание. Не исключено, что значение функции меняется в зависимости от но остается одним и тем же при изменении аргумента у. Тогда функцию двух аргументов можно рассматривать как функцию одного аргумента Если же значение остается одним и тем же при любых значениях обоих аргументов, то функция двух аргументов оказывается постоянной величиной.

Пример 3. Суточное количество осадков на территории Московской области есть функция широты и долготы места наблюдения. Однако не исключено, что суточное количество осадков в направлении с юга на север остается неизменным и меняется

только в направлении с востока на запад. Тогда можно рассматривать как функцию одного аргумента

Если в течение суток по всей области осадки не выпадали, то постоянная величина (равная пулю).