§ 514. Циклоиды

1. Определение. Циклоидой называется линия, которую описывает точка (см. рис. 498), закрепленная в плоскости круга (производящий круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой (направляющая).

Если точка описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т. е. расстояние от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной (рис. 498, а); если вне круга (т. е. удлиненной (рис. 498, б); если же точка лежит на окружности (т. е. то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой (рис. 498, в) или чаще просто циклоидой (ср. § 253).

Пример. Когда вагон движется но рельсам, внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе — удлиненную, а точка окружности колеса — обыкновенную циклоиду.

Начальной точкой циклоиды (А на рис. называется такая ее точка, которая лежит на прямой соединяющей центр производящего круга с точкой его опоры и расположена по ту же сторону от центра что и точка опоры О. Точка В на рис. 498, а-в - тоже начальная.

Начальные точки обыкновенной циклоиды (рис. 498, в) лежат на направляющей и совпадают с соответствующими точками опоры производящего круга.

Вершиной циклоиды (D на рис. 498, а-в) называется такая ее точка, которая лежит на прямой соединяющей центр производящего круга с точкой опоры О, но расположена на продолжении отрезка за точку С.

Рис. 498

Отрезок соединяющий две соседние начальные точки, называется основанием циклоиды; перпендикуляр опущенный из вершины циклоиды на ее основание, — высотой. Дуга, описываемая точкой между двумя соседними начальными точками, называется аркой циклоиды; прямая описываемая центром С производящего круга, — линией центров циклоиды.

2. Построение. Чтобы построить циклоиду по радиусу производящего круга и расстоянию от точки описывающей циклоиду, до центра С производящего круга, проводим сначала (рис. 499) линию центров Из некоторой ее точки как из центра, проводим окружность радиуса Один из концов ее диаметра, перпендикулярного обозначим буквой Это будет вершина искомой линии.

Окружность делим на четное число равных дуг (мы взяли так чтобы точка оказалась одной из точек деления, и снабжаем точки деления пометками (точки совпадают). На линии центров в обе стороны от точки откладываем отрезки равные полуокружности производящего круга:

и делим каждый из этих отрезков на равных частей. Точки деления обозначим (точки совпадают соответственно с точками положительным номером на прямой и на окружности соответствуют точки, лежащие по одну и ту же сторону от прямой Через точки окружности

Рис. 499

проводим прямые, параллельные линии центров (они пройдут соответственно и через точки ), а из точек проводим полуокружности радиуса которых диаметры перпендикулярны которые обращены вогнутостью к точке

Отмечаем точки где полуокружности встречают прямую, проведенную через точки затем отмечаем точки где полуокружности встречают прямую, проведенную через точки и т. д. Все точки лежат на искомой циклоиде. В точках находятся ее начальные точки

Так строится по точкам одна арка циклоиды. Для построения соседних арок надо продолжить ряд точек С, как показано на рис. 499. Нумерацию этих точек надо произвести заново. Окружность же нет необходимости вычерчивать заново, так как прямые, параллельные линии центров, остаются прежними.

3. Параметрические уравнения (ось абсцисс — направляющая начало координат О — проекция одной из начальных точек (А на рис. 498, а-в) на направляющую

где угол поворота производящего круга, отсчитываемый от того положения, в котором точка совпадает с начальной точкой А.

Для обыкновенной циклоиды

4. Особенности формы. По направлению прямой циклоида в обе стороны простирается в бесконечность. Любой ее дуге, отсчитываемой от какой-либо начальной точки А, соответствует симметричная дуга, отсчитываемая от той же точки в противоположном направлении; ось симметрии. Циклоида симметрична также относительно прямой проведенной через какую-либо из вершин перпендикулярно направляющей.

При смещении по направлению линии центров на расстояние, кратное (длине производящей окружности), циклоида совмещается сама с собой. Последовательными смещениями на расстояние можно

получить всю циклоиду из любой ее дуги, соответствующей изменению параметра от некоторого значения до значения например от до или от до

Циклоида заключена внутри полосы, ограниченной прямыми Первая из них касается циклоиды в каждой из ее вершин. Вторая проходит через все начальные точки; она является касательной к циклоиде, когда эта циклоида — укороченная или удлиненная. Для обыкновенной же циклоиды вторая прямая совпадает с направляющей и перпендикулярна касательным (односторонним) в начальных точках циклоиды.

5. Узловые точки. Удлиненная циклоида всегда обладает узловыми точками. Число и расположение последних зависят от отношения Пока это отношение не превосходит числа все узловые точки расположены на прямых целое число), причем на каждой из этих прямых лежит одна узловая точка: точка (см. рис. 498, б) — на прямой точка на прямой

Эти точки можно найти, решив уравнение

которое в рассматриваемом случае имеет единственный положительный корень последний расположен в промежутке ( Значения соответствуют точке на арке и на соседней арке

Пример 1. Пусть как на рис. 498, б. Решив уравнение

(по способу §§ 288—289), найдем значение соответствующее точке (на арке Ординату точки находим из второго уравнения (1):

Узловые точки данной циклоиды есть

Пусть теперь отношение X лежит в промежутке

где ; тогда кроме рассмотренных выше узловых точек появляются узловые точки на прямых по одной паре на каждой из этих прямых: точки (рис. 500) на прямой точки на прямой точки на прямой Эти точки можно найти, решив уравнение

которое в рассматриваемом случае имеет два положительных корня Оба корня лежат в промежутке и соответствуют точкам на арке которая пересекается здесь с аркой отделенной от одной промежуточной аркой . В том случае, когда X лежит в промежутке

Рис. 500

где циклоиды появляются новые узловые точки — на этот раз опять на прямых по одной паре на каждой из этих прямых: точки (см. рис. 500) на прямой точки на прямой точки на прямой Эти точки можно найти, решив уравнение (2), которое в рассматриваемом случае имеет не один положительный корень, как в примере 1, а три. Наименьший корень лежит в промежутке и соответствует узловой точке (см. рис. 500), лежащей в пересечении соседних арок и Два других корня лежат в промежутке и соответствуют точкам лежащим в пересечении арок разделенных двумя промежуточными и

По мере дальнейшего роста отношения X у циклоиды появляются все новые и новые пары узловых точек: сначала по одной паре точек на прямых (в этих точках пересекаются две арки, разделенные тремя промежуточными), затем — по одной паре точек на прямых (здесь пересекаются две арки, разделенные четырьмя промежуточными) и т. д. попеременно.

Пример 2. Пусть как на рис. 500. Так как это значение лежит в промежутке то данная удлиненная циклоида имеет по три узловые точки на каждой из прямых и по две — на каждой из прямых

Узловые точки на прямой найдем из уравнения

Его корни есть

Ординаты точек находим из второго уравнения (1):

и аналогично

Узловые точки 2 прямой найдем из уравнения

Его корни есть

Ординаты точек будут

На каждой арке нашей циклоиды лежит по 10 узловых точек (на арке ADB - точки и симметричные с ними точки ).

Ни укороченная, ни обыкновенная циклоида узловых точек не имеют.

6. Точки возврата. По мере того как внешняя точка производящего круга приближается к окружности, описываемая точкой удлиненная циклоида (см. рис. 498, б) стремится к совпадению с обыкновенной циклоидой (см. рис. 498, в). При этом петля с узловой точкой стягивается в точку О, которая становится точкой возврата обыкновенной циклоиды: при переходе с арки на арку ( направление движения точки меняется на противоположное. Точками возврата являются все точки обыкновенной циклоиды, и только они. Удлиненные и укороченные циклоиды точек возврата не имеют.

7. Точки перегиба. Укороченная циклоида имеет на каждой арке по две точки перегиба на рис. 498, а): соответствующие значения параметра определяются из уравнения

Для циклоиды, изображенной на рис. 498, а, где имеем Точке соответствует

значение точке значение Координаты точки есть

Координаты точки

8. Свойства нормали и касательной. Нормаль (см. рис. любой циклоиды проходит через точку опоры производящего круга. Касательная (рис. 498, в) обыкновенной циклоиды проходит через точку Ну диаметрально противоположную точке опоры производящего круга.

Отсюда ясен способ построения касательной.

9. Радиус кривизны. Для любой циклоиды

В частности, для обыкновенной циклоиды

(рис. 498, в), т. е. радиус кривизны обыкновенной циклоиды равен удвоенному отрезку нормали между циклоидой и направляющей. Другими словами, для построения центра кривизны достаточно продолжить хорду за точку на расстояние, равное этой хорде.

10. Эволюта и эвольвента обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды (геометрическое место центров кривизны) есть циклоида, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания и опущенная под основание на расстояние, равное высоте циклоиды (см. рис. 384). Другими словами, эвольвента циклоиды (см. рис. 384), исходящая из вершины В этой циклоиды, есть циклоида конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основання и поднятая над основанием на расстояние, равное высоте циклоиды.

11. Циклоида и синусоида. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий через точку опоры, есть синусоида с длиной волны и амплитудой Ось этой синусоиды совпадает с линией центров циклоиды.

12. Циклоида как проекция винтовой линии. Обозначения: шаг винтовой линии; а — ее радиус; а — угол подъема; — угол между осью винтовой линии и плоскостью проекций; угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций.

Косоугольная проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную оси, есть циклоида. Если то эта циклоида удлиненная; если то укороченная; если то обыкновенная. Прямоугольная проекция винтовой линии на ту же плоскость есть, очевидно, окружность.

Прямоугольная проекция винтовой линии на плоскость, не перпендикулярную оси, но и не параллельную последней, есть «сжатая циклоида» (рис. 501, а-в), т. е. линия, получаемая из циклоиды с помощью равномерного сжатия к какой-либо прямой, перпендикулярной линии центров циклоиды (§ 40).

Коэффициент сжатия ; величины характеризующие циклоиду ее сжатия), выражаются так:

Отсюда видно, что при проекция винтовой линии (рис. 501, а) родственна с удлиненной циклоидой; при (рис. 501, б) — с укороченной; при (рис. 501, в) — с обыкновенной.

Ортогональная проекция винтовой линии на плоскость, параллельную оси (рис. 501, г), есть синусоида, у которой амплитуда есть радиус а винтовой линии, а длина волны есть проекция шага .

13. Длина дуги s циклоиды между точками

Рис. 501

Эта дуга равна по длине дуге эллипса

между точками с теми же значениями параметра

Интеграл (6) в общем случае не выражается через элементарные функции аргумента Но для обыкновенной циклоиды (эллипс (7) вырождается в отрезок длины имеем

В частности, одна арка обыкновенной циклоиды равна по длине учетверенному диаметру производящего круга:

14. Натуральное уравнение обыкновенной циклоиды (в пределах одной арки)

Получается из (8) и (4а) исключением Дуги отсчитываются от начальной точки. Если за начало дуг принять вершину, то натуральное уравнение будет

15. Кинематическое свойство обыкновенной циклоиды. Уравнение (9) выражает на языке кинематики

следующее свойство: если обыкновенная циклоида катится (без скольжения) по прямой то центр кривизны точки касания движется по окружности. Радиус последней вчетверо больше радиуса производящего круга, а центр лежит в той точке прямой через которую прокатывается вершина циклоиды.

16. Площади и объемы. Площадь описываемая ординатой при изменении от до

«Полная площадь»

Для обыкновенной и укороченной циклоид — это площадь фигуры (см. рис. 498, а, в); для удлиненной — площадь фигуры, остающейся от фигуры после изъятия прямоугольника (см. рис. 498, б).

Для обыкновенной циклоиды

т. е. фигура, ограниченная аркой циклоиды и основанием, по площади втрое больше производящего круга Роберваль (1634), Э. Торричелли (1643)).

Площадь поверхности, образованной вращением обыкновенной циклоиды около ее основания

где площадь петли циклоиды.

Объем соответствующего тела вращения

где V — объем описанного цилиндра.

Площадь поверхности, образованной вращением обыкновенной циклоиды около высоты

Объем соответствующего тела вращения

где V — объем описанного цилиндра, объем вписанного шара.

17. Тавтохронное свойство циклоиды. Материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по обыкновенной циклоиде (рис. 502), обращенной вогнутостью вверх, достигает низшего положения за промежуток времени

( радиус производящего круга, ускорение свободного падения). Этот промежуток не зависит от начального положения точки (X. Гюйгенс, 1673).

Поэтому период колебания циклоидального маятника не зависит от его амплитуды (круговой маятник практически обладает этим свойством лишь при малых колебаниях). Нить циклоидального маятника, сконструированного Гюйгенсом, укрепляется в начальной точке К другой циклоиды являющейся эволютой циклоиды (см. п. 10).

Рис. 502

18. Циклоида как брахистохрона. Брахистохрона точки, перемещающейся под действием силы тяжести (в среде, сопротивлением которой можно пренебречь) из данной точки А в нижележащую точку В (не расположенную на одной вертикали с А), есть обыкновенная циклоида. Она обращена вогнутостью вверх; точка А является ее начальной точкой. Величина производящего круга определяется из условия, чтобы циклоида проходила через точку В.

Продолжительность быстрейшего спуска определяется по формуле

где угол поворота производящего круга, соответствующий точке В.

Пример. Точка В ниже точки А на а по горизонтали находится на расстоянии от А. Найти продолжительность быстрейшего ската из

Решение. Возьмем начало координат в точке А, ось ОХ направим вертикально вниз; за плоскость примем вертикальную плоскость, проходящую через Направим ось так, чтобы точка В имела положительную абсциссу. За единицу масштаба примем Тогда координаты точки В будут

Циклоида, обеспечивающая быстрейший скат, представляется уравнениями

Из условия (19) можно найти радиус производящего круга и значение соответствующее точке В.

Для этого, исключая из (20), решаем уравнение

по способу §§ 288—289. Получаем

Теперь из второго уравнения (20) находим

Наконец, по формуле (18), полагая находим

Спуск из по наклонной плоскости продолжался бы 0,87 с, т. е. почти на 25% дольше.

19. Исторические сведения. В истории высшей математики циклоида сыграла исключительно важную роль. Более полустолетия она привлекала внимание крупнейших ученых 17 века. Ряд ее свойств, найденных геометрическими средствами, подтвердил правильность новых аналитических методов. Другие ее свойства удалось открыть только с помощью этих новых методов.

В 1590 г. Г. Галилей, изучая траекторию точки катящейся окружности, построил циклоиду (ему принадлежит и наименование этой линии). Он пытался определить площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Не располагая средствами для теоретического решения задачи, он пытался найти отношение площади циклоиды к площади производящего круга путем взвешивания. Вначале он полагал, что это отношение равно 3, но потом обратил внимание на то, что эксперимент всегда давал ему число, меньшее трех. Так как разность была незначительна, то искомое отношение казалось невозможным выразить с помощью небольших целых чисел, и Галилей пришел к убеждению, что это отношение иррационально.

После смерти Галилея (1642 г.) его ученики Э. Торричелли и В. Вивиани, делившие с ним горести заточения, занялись математическим исследованием циклоиды. Вивиани, применяя кинематические соображения, нашел свойство касательной, изложенное в Торричелли, применяя приемы, предвосхитившие интегральное исчисление, определил площадь циклоиды .

Площадь циклоиды была найдена также Ж. Робервалем независимо от Торричелли и, вероятно, на несколько лет раньше последнего. Метод Роберваля замечателен по остроумию и простоте (он основывался на свойстве .

Тем же методом Роберваль нашел объемы тел вращения циклоиды около основания и около высоты. Роберваль рассматривал не только обыкновенную циклоиду, но также удлиненную и укороченную и дал метод построения их касательных.

Как ни замечательны были эти открытия, они относились все же к задачам, которые для ряда других фигур решались уже с давних пор. Между тем все попытки осуществить точное спрямление криволинейных дуг оставались безуспешными. Циклоида была первой кривой линией, которую удалось спрямить. Впервые это сделал выдающийся английский астроном, физик, математик и архитектор К. Рен (1632— 1723). Работа Рена была опубликована в 1658 г. Вскоре та же задача была решена рядом других ученых, причем П. Ферма, кроме того, впервые выполнил спрямление алгебраической линии (полукубической параболы).

Исчерпывающее исследование геометрических свойств циклоиды было произведено Б. Паскалем, работа которого вышла в свет в 1659 г.

В последующее сорокалетие трудами таких первоклассных ученых, как X. Гюйгенс, И Ньютон, Г В. Лейбниц и братья Бернулли, были исследованы механические применения циклоиды (см. пп. 15 и 16). Задача о брахистохроне в ее обобщенном виде явилась одним из основных истоков созданной в 18 веке трудами Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа новой отрасли математики — вариационного исчисления.