§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости
Если прямые
лежат в одной плоскости, то
или в векторной форме
Обратно, если выполняется условие (3), то прямые лежат в одной плоскости.
Пояснение. Если прямые (1) и (2) лежат в одной плоскости, то в последней лежит прямая (рис. 177), т. е. векторы 
компланарны (и обратно). Это и выражает уравнение (3) (см. § 120).
Замечание. Если 
(при этом (3) обязательно удовлетворяется), то прямые параллельны. В противном случае прямые, удовлетворяющие условию (3), пересекаются.
Пример. Определить, пересекаются ли прямые
и если да, то в какой точке.
Решение. Прямые (1) и (2) лежат в одной плоскости, так как определитель (3), равный 
обращается в нуль. Эти прямые не параллельны (направляющие коэффициенты не пропорциональны). Чтобы найти точку пересечения, надо решить систему четырех уравнений (1), (2) с тремя неизвестными. Как правило, подобная система не имеет решений, но в данном случае (вследствие выполнения условия (3)) решение есть. Решив систему каких-либо трех уравнений, получим 
Четвертое уравнение удовлетворяется. Точка пересечения (1; 2; 3).
Рис. 177
