§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости

Пусть прямая представляется уравнениями

где не равны нулю одновременно (случай рассмотрен ниже в примере 3). Чтобы найти проекцию прямой на плоскость достаточно исключить из уравнений (1)-(2). Полученное уравнение (вместе с уравнением будет представлять искомую проекцию. Аналогично находятся проекции на плоскости и

Пример 1. Найти проекцию прямой

на плоскость

Решение. Чтобы исключить 2, умножим первое из данных уравнений на 4, а второе — на 3 и сложим. Получим:

т.е.

Это уравнение вместе с уравнением

представляет проекцию прямой на плоскость XOY.

Пояснение. Плоскость (5) проходит через прямую (§ 148). С другой стороны, как видно из (6) (где не содержится z), эта плоскость (§ 124, п. 2) перпендикулярна плоскости Значит, прямая, по которой плоскость (6) пересекается с плоскостью (7), есть проекция прямой на плоскость (7) (ср. § 148, пример 3).

Пример 2. Проекция прямой

на плоскость представляется (в плоской системе координат уравнением (9). Исключать координату не требуется, так как в уравнении (9) она уже не содержится. Плоскость (9) перпендикулярна плоскости она проецирует прямую на

Пример 3. Найти проекции прямой

на координатные плоскости.

Решение. В обоих уравнениях 2 отсутствует, так что обе плоскости (рис. 172) перпендикулярны плоскости Прямая перпендикулярна и проецируется на плоскость в точку с координатой Из системы находим

Рис. 172

Уравнение проекции на плоскость можно найти по общему способу, исключая из (10) и (11).

Получим т. е. то же равенство, которое выше найдено для (из рисунка видно, что прямая V отстоит от на расстояние равное Уравнение проекции на плоскость есть