§ 355. Производная вектор-функции

Определение. Производной вектор-функции называется вектор

Вектор сам является вектор-функцией аргумента и. Отсюда название производная вектор-функция и обозначение

Геометрический смысл. Пусть подвижный конец вектора (рис. 394) описывает линию (годограф вектор-функции Тогда вектор направлен по касательной в сторону возрастания параметра и; его длина равна (см. пример 1). Если за аргумент

Рис. 394

принять то длина производной вектор-функции равна единице (см. пример 2).

Пояснение. При переходе от точки к точке вектор получает приращение

Вектор направлен по секущей его длина равна При секущая стремится к совпадению с касательной, а отношение — стремится к пределу

Координаты производной вектора соответственно равны производным от координат вектора т. е.

или в других обозначениях

Пример 1. При обозначениях § 349 радиус-вектор винтовой линии выражается через параметр следующим образом:

В силу (3)

Вектор направлен по касательной к винтовой линии (ср. § 351, формула его длина равна .

Пример 2. Если за аргумент радиуса-вектора винтовой линии принять дугу то (§ 350, пример 2)

Модуль вектора равен

Производные высших порядков. Они определяются так же, как и для скалярных функций, и обозначаются Выражения производных через дифференциалы даны в § 356.

Механический смысл производных. Пусть есть вектор-функция, выражающая радиус-вектор движущейся точки через время Тогда есть вектор скорости точки вектор ее ускорения.