§ 506. Верзьера Аньези

1. Определение. Пусть на отрезке (рис. 484), как на диаметре, построена окружность и пусть полухорда продолжена до точки определяемой из пропорции

Когда точка С описывает окружность точка описывает линию, называемую верзъерой Аньези — по имени итальянского ученого Марии Гаэтаны Аньези (1718—1799), которая рассматривала эту линию в руководстве по высшей математике (1748), пользовавшемся в свое время широким распространением.

2. Построение. М. Г. Аньези указала следующее простое построение верзьеры. Пусть точка пересечения прямой с прямой касающейся данной окружности в точке А (вершина верзьеры). Проводим прямые и Точка пересечения прямых и принадлежит верзьере. При построении полезно учесть особенности формы верзьеры (см. ниже).

Рис. 484

3. Уравнение (О — начало координат; касательная к производящей окружности в точке О — ось абсцисс):

( диаметр производящей окружности).

4. Особенности формы. Диаметр ось симметрии верзьеры. Верзьера располагается целиком по одну сторону от прямой Последняя является асимптотой верзьеры. Верзьера обладает двумя точками перегиба Они строятся по вышеуказанному способу, если точку С совместить с одной из точек Углы составляемые касательными с осью находятся по формуле Для построения касательных достаточно отложить отрезок на продолжении диаметра

В вершине А центр кривизны К верзьеры совпадает с центром производящей окружности, так что радиус кривизны Поэтому вблизи вершины А верзьера практически сливается с окружностью.

5. Площадь S бесконечной полосы между верзьерой и ее асимптотой равна учетверенной площади производящего круга: (ср. § 327, пример 4).

6. Объем V тела вращения верзьеры около асимптоты равен удвоенному объему тела вращения производящего круга около той же оси:

Тело вращения верзьеры около оси симметрии имеет бесконечный объем.

7. Исторические сведения. Линия, заданная уравнением впервые встречается у П. Ферма, который в 30-х годах 17 века нашел площадь, ограниченную дугой этой линии, двумя ординатами и осью абсцисс (задача эта тогда представляла значительные трудности, так как методы интегрирования были еще мало разработаны). Построение верзьеры и ряд ее свойств были указаны итальянским ученым Гвидо Гранди в 1718 г. Ему принадлежит и термин «верзьера» (versiera); это слово, несмотря на его двусмысленность (по-итальянски оно означает «ведьма»), Гранди произвел от термина sinus versus («обращенный синус»): в эпоху Гранди отрезок ВС именовался синусом дуги ОС у а отрезок ВА - обращенным синусом. Курьезное название «локон Аньези», встречающееся в некоторых нынешних руководствах, не имеет, по-видимому, никаких исторических оснований.