§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты

Тройной интеграл выражается через сферические координаты точки формулой

Здесь та функция сферических координат, которая представляет функцию точки Выражение называется элементом объема в сферических координатах. Оно эквивалентно объему тела (рис. 461), у которого

Рис. 461

Множитель в выражении элемента эквивалентен площади сферической фигуры Множитель эквивалентен телесному углу, под которым четырехугольник виден из центра.

Пример. Найти интеграл где функция точки есть квадрат расстояния от нее до оси на рис. 462), а область есть тело, ограниченное снизу конусом (у него высота ОС равна радиусу основания СА = R), а сверху — полусферой радиуса R.

Интеграл I выражает момент инерции тела относительно оси (§ 468).

Решение. Введем сферические координаты Так как то искомый интеграл имеет вид

Сначала интегрируем по аргументу (пределы интегрирования будут нуль и затем — по аргументу (пределы будут ) и, наконец, по аргументу (пределы будут ).

Рис. 462

Получаем: