§ 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции

1. Производная постоянного вектора а равна нулю, дифференциал тоже равен нулю:

Обратно, если производная вектора тождественно равна нулю, то вектор — постоянный.

Замечание. Постоянный вектор имеет не только постоянную длину, но и неизменное направление.

Производная переменного вектора по постоянной не равна нулю (она перпендикулярна вектору ; см. свойство 6).

2. Дифференциал суммы нескольких векторов равен сумме их дифференциалов. Аналогичное свойство для производных:

3. Для всех видов умножения векторов имеют место формулы дифференцирования, аналогичные формулам § 239, с тем отличием, что в векторных и смешанных произведениях соблюдается надлежащий порядок сомножителей (ср. § 112, п. 2, § 117, п. 1):

Соответствующие формулы для производных:

4. В качестве частного случая формул (5) и (5а) имеем:

5. Постоянный множитель (скалярный или векторный) можно вынести за знак дифференциала (производной):

Вытекает из свойств 1 и 3.

6. Если вектор сохраняет постоянную длину, то он перпендикулярен вектору а также вектору т. е. если

то (ср. п. 4)

Вытекает из (7).

Геометрически: годограф вектора сферическая линия; ее касательная перпендикулярна к радиусу сферы.