§ 37. Алгебраические линии и их порядок

Уравнение вида

где по крайней мере одна из величин не равна нулю, есть алгебраическое уравнение первой степени (с двумя неизвестными х, у). Оно всегда представляет прямую линию.

Алгебраическим уравнением второй степени называется всякое уравнение вида

где по крайней мере одна из величин не равна нулю.

Уравнение, равносильное уравнению (2), также называют алгебраическим.

Пример 1. Уравнение равносильное уравнению алгебраическое уравнение второй степени

Пример 2. Уравнение равносильное уравнению есть алгебраическое уравнение второй степени

Пример 3. Уравнение есть уравнение первой степени, так как оно равносильно уравнению

Аналогично определяются алгебраические уравнения третьей, четвертой, пятой и т. д. степеней. Величины (в том числе свободный член) называются коэффициентами алгебраического уравнения.

Если некоторая линия представляется в какой-либо одной декартовой системе координат алгебраическим уравнением степени, то и во всякой другой декартовой системе она представится алгебраическим уравнением той же степени. При этом, однако, коэффициенты уравнения (все или некоторые) изменят свои значения; в частности, некоторые могут обратиться в нуль.

Линия L, представляемая (в декартовой системе) уравнением степени, называется алгебраической линией порядка.

Пример 4. Прямая линия представляется в прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением первой степени вида (§ 16). Поэтому прямая есть алгебраическая линия первого порядка. Для одной и той же прямой коэффициенты имеют различные значения в различных системах координат. Так, пусть в «старой» системе прямая представляется уравнением Если повернуть оси на угол 45°, то в «новой» системе та же прямая представится уравнением

т. е.

Пример 5. Если начало координат совпадает с центром окружности радиуса то окружность представляется уравнением (§ 38) . Это — алгебраическое уравнение второй степени Значит, окружность есть линия второго порядка. Если начало координат перенести в точку то в новой системе та же окружность представится (§ 35) уравнением т. е. Это уравнение тоже второй степени; коэффициенты остались прежними, но изменились.

Пример 6. Линия, представляемая уравнением (синусоида), — не алгебраическая.