§ 371. Простейшие действия над рядами
1. Почленное умножение на число. Если ряд
сходится и сумма его есть 
то ряд
полученный почленным умножением ряда (1) на одно и то же число 
тоже сходится, и его сумма равна 
т. е.
Пример 1. Ряд
сходится и его сумма равна 
(§ 369, пример 4). Следовательно, ряд
сходится и его сумма равна 
2. Почленное сложение и вычитание. Если ряды
сходятся и их суммы соответственно равны 
то ряд
полученный почленным сложением (или вычитанием), тоже сходится и его сумма равна 
т. е.
Пример 2. Ряд
сходится и его сумма равна 
Действительно, этот ряд получается почленным сложением сходящихся рядов 
, а суммы последних соответственно равны 
.
Предостережение. Не все свойства конечных сумм остаются в силе для сходящихся рядов. Так, от перестановки членов сходящийся ряд может приобрести иную сумму и даже стать расходящимся. Переставим, например, члены сходящегося ряда
так, чтобы за двумя положительными шел один отрицательный (порядок положительных членов остается прежним; то же для отрицательных). Получим ряд
Он сходится, но его сумма в полтора раза больше прежней. Действительно, мы имеем (см. пример 1):
(вставление нулей не изменяет суммы ряда!). Сложив почленно ряды (10) и (12) 
, получим:
Сократив дроби и отбросив нули, получим слева ряд (11).
