4.8. Первая внешняя краевая задача

Интегральное уравнение (4.4.2) этой задачи по упомянутой в п. 4.6 теореме Фредгольма имеет решение лишь при условии ортогональности его свободного члена любому собственному решению задачи

Это условие, как уже говорилось в замечании 3 п. 4.2, вызвано не существом задачи, а принятым представлением в форме второго потенциала теории упругости. При таком представлении этот вектор на достаточно большом удалении от О убывает, согласно (3.8.3), не медленнее, чем тогда как следует потребовать его убывания не более медленного, чем

Введем вместо заданного распределения на О вспомогательный вектор

где элементарная система собственных решений (4.7.10) интегрального уравнения

Условие (4.8.1) будет удовлетворено при любом собственном векторе если потребовать его выполнения с каждым из векторов (4.7.8). Сославшись на (4.7.11), имеем

Этим определены коэффициенты приняв теперь,

представим (4.8.2) в виде

Разыскивая теперь решение в форме (4.2.1) второго потенциала теории упругости, придем, вместо (4.2.5), к интегральному уравнению

имеющему решение, поскольку соблюдено условие ортогональности (4.8.3) его свободного члена собственному вектору задачи По

Остается построить в первый потенциал решающий эластостатическую задачу Робена, соответствующую заданию на О вектора перемещения

Решение первой внешней краевой задачи теперь представляется в виде

Действительно, это решение удовлетворяет в однородным уравнениям теории упругости (им удовлетворяет каждый из потенциалов), а на О по (4.8.5) и (4.8.7)

что и требуется. Единственность решения гарантируется теоремой Кирхгоффа.