4.8. Первая внешняя краевая задача
Интегральное уравнение (4.4.2) этой задачи по упомянутой в п. 4.6 теореме Фредгольма имеет решение лишь при условии ортогональности его свободного члена любому собственному решению
задачи
Это условие, как уже говорилось в замечании 3 п. 4.2, вызвано не существом задачи, а принятым представлением
в форме второго потенциала теории упругости. При таком представлении этот вектор на достаточно большом удалении от О убывает, согласно (3.8.3), не медленнее, чем
тогда как следует потребовать его убывания не более медленного, чем
Введем вместо заданного распределения
на О вспомогательный вектор
где
элементарная система собственных решений (4.7.10) интегрального уравнения
Условие (4.8.1) будет удовлетворено при любом собственном векторе
если потребовать его выполнения с каждым из векторов (4.7.8). Сославшись на (4.7.11), имеем
Этим определены коэффициенты
приняв теперь,
представим (4.8.2) в виде
Разыскивая теперь решение
в форме (4.2.1) второго потенциала теории упругости, придем, вместо (4.2.5), к интегральному уравнению
имеющему решение, поскольку соблюдено условие ортогональности (4.8.3) его свободного члена собственному вектору задачи По
Остается построить в
первый потенциал
решающий эластостатическую задачу Робена, соответствующую заданию на О вектора перемещения
Решение первой внешней краевой задачи теперь представляется в виде
Действительно, это решение удовлетворяет в
однородным уравнениям теории упругости (им удовлетворяет каждый из потенциалов), а на О по (4.8.5) и (4.8.7)
что и требуется. Единственность решения гарантируется теоремой Кирхгоффа.