III.11. Эллиптические координаты (общий случай).

Рассматривается эллипсоид

и семейство софокусных с ним поверхностей

где — переменный параметр. Считая заданными, будем рассматривать (III. 11.2) как кубическое уравнение относительно а:

в котором

Придавая а положительные значения, получим следующую таблицу чередования знаков:

Из нее следует, что корни полинома расположены в промежутках Обозначим их соответственно

Этим определяются три семейства софокусных поверхностей второго порядка: двуполые гиперболоиды

однополые гиперболоиды

и эллипсоиды

При принятом обозначении его корней полином может быть записан в виде

и по (III. 11.2), (III. 11.3) приходим к основному тождеству:

Из него легко выразить через введенныепараметры Так, умножая обе части этого тождества на 0 и затем полагая найдем а умножением на и последующей заменой 0 на и соответственно 0 на 1 получим Приходим к равенствам

Таким образом, через корни полинома (III. 11.4) при заданных координатах точки определяются единственным образом три координатные поверхности (III. 11.7)-(III. 11.9), проходящие через эту точку; обратно, задав по (III. 11.12)

определяем с точностью до знака декартовы координаты точек пересечения этих поверхностей в каждом из восьми октантов системы осей

Числами :

определяется криволинейная система эллиптических координат. Положение точки на поверхности эллипсоида задается параметрами и заданная на нем функция может быть выражена через эти параметры. В частности, при

Кривые представляют эллипсы с полуосями

расположенные между отрезком оси и Эллипсом с полуосями

Итак, «эллипсоид» представляет эллиптическую пластинку в плоскости ограниченную эллипсом

Однополый гиперболоид при вырождается в часть плоскости вне эллипса на которой

Эллипс является линией пересечения поверхностей Он представляет геометрическое место фокусов системы координатных поверхностей.

Переходим к вычислению коэффициентов Ляме. По (III. 11.12)

Отсюда получаем таблицу производных

и по (III. 2.4) находим

и т. д. При заменив в выражениях декартовы координаты их значениями (III. 11.12), получим

чем устанавливается ортогональность системы эллиптических координат. Имеем, далее,

Исключение из этих выражений декартовых координат проще всего осуществить, дифференцируя по а основное тождество (III. 11.11)

и последовательно полагая Получаем

и т. д. Приходим к равенствам

При обозначениях

якобиан оказывается равным

и выражение лапласиана по (III.5.5) приводится к виду

Сославшись на (III. 3.5) и на (III. 11.19), отметим также формулы

Предельный переход к координатам сплющенного эллипсоида (сфероида), назовем их здесь осуществляется, если принять, что но остается конечным, и положить

Тогда по (III. 11.12) получим

что и требуется [см. (III. 10.1)]. Здесь координата, которая в п. III. 10 обозначалась

Для перехода к координатам вытянутого эллипсоида полагаем

Тогда по (III. 11.12)

и координатными поверхностями служат эллипсоиды вращения вокруг оси