3.2. Перемещения.

Из шести компонент тензора деформации четыре равны нулю:

что является следствием отсутствия нормальных напряжений и касательного напряжения Отличны от нуля сдвиги по (3.1.5) их можно представить в виде

По (3.1.8) и четвертому условию (3.2.1) имеем

причем по первому и второму условиям (3.2.1) легко заключить, что Итак,

Слагаемые, определяющие поворот и поступательное перемещение стержня как твердого тела, далее отбрасываются. Формулами

определяется перемещение поворота поперечного сечения на угол вокруг его оси; постоянная а — угол кручения — представляет угол относительного поворота двух сечений, отстоящих друг от друга по оси стержня на единицу длины. Однако поперечные сечения не остаются плоскими, так как осевое перемещение отлично от нуля (исключением является стержень круглого поперечного сечения) — поперечное сечение, как отмечалось ранее, «депланирует».

Вернемся к уравнениям (3.2.2), заменив в них их значениями (3.2.3). Получаем

Здесь в рассмотрение введена определенная с точностью до аддитивной постоянной функция

которая, как следует из (3.1.8), является гармонической в условия (3.2.4), связывающие функцию это условия Коши — Римана. Поэтому также гармоническая функция,

функция комплексного переменного вспомнив обозначение (2.1.13), имеем

Функцию называют комплексной функцией кручения.

По (3.1.6) легко получить краевые условия для гармонических функций

Задача Неймана (определение гармонической функции по заданию на контуре области ее нормальной производной), к которой приведено определение деплаиации имеет определяемое с точностью до аддитивной постоянной решение, так как выполнено необходимое и достаточное условие его существования

Рис. 27.

Независимость от следует из третьего условия (3.2.1).