III.2. Квадрат линейного элемента.

В рассмотрение вводится тройка векторов, обозначаемых

имеющих направления касательных к координатным линиям . Ими в окрестности точки определяется бесконечно малый вектор

Квадрат его длины — квадрат линейного элемента, выраженный через криволинейные координаты, — определяется из равенства

Шесть величин

определяют метрику в принятой системе координат. Это — ковариантные компоненты метрического тензора.

Вторые производные вектор-радиуса обозначаются

Далее потребуется знание скалярных произведений они выражаются через производные от ковариантных компонент метрического тензора. Имеем

и два равенства, получающихся из написанного круговой перестановкой индексов. Приходим к соотношениям

К искомому соотношению приходим, вычитая первое из суммы второго с третьим:

Эти величины называются символами Кристоффеля первого рода (или прямыми скобками Кристоффеля).