3.6. Уравнение теплопроводности.

В рассмотрение вводится вектор теплового потока пропорциональный градиенту температуры и направленный в сторону падения температуры:

где К — коэффициент теплопроводности. Этим вектором определяется количество тепла, выходящее в единицу времени вследствие теплопроводности из произвольного объема V через ограничивающую его поверхность О:

Вместе с тем сообщаемое единице объема в единицу времени количество тепла можно представить в виде

Поэтому

и вследствие произвольности объема V

Заменив здесь энтропию значением (3.4.4), получим

Как и выше, величину считаем малой того же порядка, что и Считая еще К постоянным, приходим к уравнению теплопроводности

где

— коэффициент температуропроводности. Другой формой записи уравнения теплопроводности, получаемой при замене в (3.6.4) значением (3.5.7), служит

где теперь что следует из (2.3.6), (2.3.4).

Использование понятия энтропии в равновесном стационарном процессе для вывода уравнения нестационарного распределения температуры основывается на предположении о локальноравновесных и медленно протекающих процессах.

Уравнения (3.6.6), (3.6.7) отличаются от классического уравнения теплопроводности Фурье

слагаемыми, обусловленными учетом деформации среды. При нестационарном температурном режиме задачи теплопроводности и теории упругости оказываются связанными: распределение температуры зависит от деформации, а последняя — от распределения температуры. Вместе с тем уравнения равновесия

упругой среды должны быть заменены уравнениями движения ее. Этот эффект может стать заметным при весьма резких изменениях температуры (при «тепловом ударе»), а в обычных условиях он пренебрежимо мал. Уравнения равновесия сохраняют в форме Фурье (3.6.8), а среду считают остающейся в условиях равновесия, пренебрегая ускорениями ее точек («квазистатнческое» рассмотрение). Задача теплопроводности решается независимо от задачи теории упругости.

При стационарном распределении температуры