5.10. Теорема Коши, интеграл Коши.

Рассмотрим сначала случай -области внутри простого замкнутого контура; значение z на обозначается

Пусть -значение на функции аналитической в и непрерывной вплоть до границы; тогда имеют место теорема Коши

и интегральная формула Коши

причем область, внешняя к

Пусть теперь бесконечная область вне двусвязная область, ограниченная изнутри и окружностью С достаточно большого радиуса извне. Через обозначается значение на и на С голоморфной в (значит, в функции Применяя интегральную формулу Коши в -области, имеем

причем здесь область, внешняя к то есть расположенная внутри

Вместе с тем

так что

Пусть теперь функция, голоморфная в области внутри повсюду, кроме полюса а главная часть ее разложения в этом полюсе равна

Вместе с тем голоморфна в -области (вне , причем так что, основываясь на (5.10.3), имеем

и, учитывая, что функция голоморфна в сославшись на (5.10.2), получим

Остается рассмотреть случай, когда внешняя к область, голоморфна в всюду, кроме бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс с главной частью

так что функция, голоморфная в

Тогда

так что

так как функция голоморфна в и равна нулю на бесконечности. Заметим, что обе формулы (5.10.5), (5.10.7) имеют одинаковую структуру:

причем область при обходе остается слева.