Пусть
-значение на
функции
аналитической в
и непрерывной вплоть до границы; тогда имеют место теорема Коши
и интегральная формула Коши
причем
область, внешняя к
Пусть теперь
бесконечная область вне
двусвязная область, ограниченная
изнутри и окружностью С достаточно большого радиуса
извне. Через
обозначается значение на
и на С голоморфной в
(значит, в
функции
Применяя интегральную формулу Коши в
-области, имеем
причем здесь
область, внешняя к
то есть расположенная внутри
Вместе с тем
так что
Пусть теперь
функция, голоморфная в области
внутри
повсюду, кроме полюса
а главная часть ее разложения в этом полюсе равна
Вместе с тем
голоморфна в
-области (вне
, причем
так что, основываясь на (5.10.3), имеем
и, учитывая, что функция
голоморфна в
сославшись на (5.10.2), получим
Остается рассмотреть случай, когда
внешняя к
область,
голоморфна в
всюду, кроме бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс с главной частью
так что
функция, голоморфная в
Тогда
так что
так как функция
голоморфна в
и равна нулю на бесконечности. Заметим, что обе формулы (5.10.5), (5.10.7) имеют одинаковую структуру:
причем область
при обходе
остается слева.