или, в развернутом виде,
Здесь
проекции на направления
единичного вектора нормали
к поверхности эллипсоида, так что
где
квадрат отношения полуосей эллипсоида, который может быть как сплющенным, так и вытянутым (см. п. III. 10). По (1.10.6) гл. IV приходим к краевым условиям
которые должны быть выполнены на поверхности эллипсоида
Нетрудно понять, что бигармоническая функция х должна быть нечетной по
тогда в правые части (4.5.3) войдут (после сокращения на
и
) только слагаемые, четные по
которые далее исключаются с помощью (4.5.4).
Аксиально-симметричные гармонические внутри эллипсоида функции
представимы следующими однородными полиномами по
(см. п. VI. 2):
(отброшены несущественные числовые множители). Они обозначаются далее
Бигармонической функцией является произведение гармонической на z или на
Поэтому в состав х кроме
включаются
Оказывается достаточным принять
причем третье и четвертое бигармонические слагаемые линейно представимы через перечисленные функции.
Определив постоянные, приходим к следующим выражениям компонент тензора Т:
где обозначено
Проекция вектора перемещения и на направления
определяются по формулам
В частности, в полюсах и на экваторе эллипсоида вращения
При
возвращаемся к формулам (3.13.10) для сферы.