4.5. Вращающийся эллипсоид вращения.

Предполагается, что эллипсоид вращается вокруг его оси симметрии (оси Oz). Частное решение, соответствующее действию массовой центробежной силы, предполагается выбранным по формулам (3.11.5), (3.11.6). Решение этой осесимметричной задачи строится с помощью бигармонической функции Лява (см. п. 1.10 гл. IV). Применяются цилиндрические координаты так как использование вырожденных эллиптических координат было бы более сложно.

На напряженное состояние задаваемое формулами (3.11.6), налагается также осесимметричное напряженное состояние определяемое по краевому условию

или, в развернутом виде,

Здесь проекции на направления единичного вектора нормали к поверхности эллипсоида, так что

где квадрат отношения полуосей эллипсоида, который может быть как сплющенным, так и вытянутым (см. п. III. 10). По (1.10.6) гл. IV приходим к краевым условиям

которые должны быть выполнены на поверхности эллипсоида

Нетрудно понять, что бигармоническая функция х должна быть нечетной по тогда в правые части (4.5.3) войдут (после сокращения на и ) только слагаемые, четные по которые далее исключаются с помощью (4.5.4).

Аксиально-симметричные гармонические внутри эллипсоида функции представимы следующими однородными полиномами по (см. п. VI. 2):

(отброшены несущественные числовые множители). Они обозначаются далее Бигармонической функцией является произведение гармонической на z или на Поэтому в состав х кроме включаются

Оказывается достаточным принять

причем третье и четвертое бигармонические слагаемые линейно представимы через перечисленные функции.

Определив постоянные, приходим к следующим выражениям компонент тензора Т:

где обозначено

Проекция вектора перемещения и на направления определяются по формулам

В частности, в полюсах и на экваторе эллипсоида вращения

При возвращаемся к формулам (3.13.10) для сферы.