§ 3. Задача о кручении
3.1. Постановка задачи.
Случай кручения является частным случаем общей задачи Сен-Венана о напряженном состоянии призматического стержня, нагруженного по его торцам, постановка которой была дана в §§ 1, 2 этой главы. Однако большое значение и детальная разработанность этого случая заставляют предпочесть независимое от общей задачи его изложение.
В задаче о кручении интегральные условия на торцах
сводятся к требованию
тогда как все остальные условия (1.2.3) — (1.2.4) однородны, то есть
Это позволяет, сохранив основные предположения (1.3.3) полуобратного метода, принять дополнительно
Напряжения
не зависящие от
определяются [ср. (1.5.1)] по остающимся уравнениям статики в объеме и на боковой поверхности:
условию (3.1.1) на торцах и уравнениям Бельтрами. Последние, поскольку нормальные напряжения отсутствуют, сводятся к двум уравнениям:
причем здесь и во всей этой главе
плоский оператор Лапласа
Уравнению статики в объеме тождественно удовлетворяет представление касательных напряжений через функцию
называемую функцией напряжений:
где а — постоянная,
модуль сдвига. Тогда уравнение статики на боковой поверхности приводит к условию на контуре поперечного сечения Г:
Уравнения Бельтрами (3.1.4) теперь записываются в виде
и выражают требование постоянства лапласиана
в области
эту постоянную, пользуясь уже наличием постоянной а в выражении напряжений, можно зафиксировать произвольно. Принято считать ее равной —2,
Остается выразить условие (3.1.1) через функцию напряжений
Введем еще в рассмотрение «вектор касательного напряжения»
Тогда, рассматривая некоторый контур
имеем по (3.1.5)
так что
если контур
представляет одну из кривых семейства линий
и вектор
в любой точке поперечного сечения имеет направление касательной к кривой
проходящей через эту точку. Проекция вектора
на касательную к
равна
и если
принадлежит семейству (3.1.11), то абсолютное значение этой проекции будет модулем вектора
(тогда
):
Таким образом, в местах поперечного сечения, где кривые семейства (3.1.10) сближаются (расстояние
между соседними кривыми
уменьшается), имеет место концентрация касательных напряжений. Можно сказать, что густота кривых — траекторий касательных напряжений — служит мерой величины этих напряжений.
Касательное напряжение х достигает максимума на контуре области. Доказательство основано на положительности лапласиана
имеем [см. (3.1.4), (II. 4.20)]
Если предположить, что максимум
достигается в точке
области, то в окрестности о этой точки и на малой окружности у с центром в
что противоречит
В большом числе задач максимум касательного напряжения реализуется в точке границы
наиболее близкой к центру инерции сечения. Однако имеются исключения, на которые указал Сен-Венан.