§ 3. Задача о кручении

3.1. Постановка задачи.

Случай кручения является частным случаем общей задачи Сен-Венана о напряженном состоянии призматического стержня, нагруженного по его торцам, постановка которой была дана в §§ 1, 2 этой главы. Однако большое значение и детальная разработанность этого случая заставляют предпочесть независимое от общей задачи его изложение.

В задаче о кручении интегральные условия на торцах сводятся к требованию

тогда как все остальные условия (1.2.3) — (1.2.4) однородны, то есть Это позволяет, сохранив основные предположения (1.3.3) полуобратного метода, принять дополнительно

Напряжения не зависящие от определяются [ср. (1.5.1)] по остающимся уравнениям статики в объеме и на боковой поверхности:

условию (3.1.1) на торцах и уравнениям Бельтрами. Последние, поскольку нормальные напряжения отсутствуют, сводятся к двум уравнениям:

причем здесь и во всей этой главе плоский оператор Лапласа

Уравнению статики в объеме тождественно удовлетворяет представление касательных напряжений через функцию называемую функцией напряжений:

где а — постоянная, модуль сдвига. Тогда уравнение статики на боковой поверхности приводит к условию на контуре поперечного сечения Г:

Уравнения Бельтрами (3.1.4) теперь записываются в виде

и выражают требование постоянства лапласиана в области эту постоянную, пользуясь уже наличием постоянной а в выражении напряжений, можно зафиксировать произвольно. Принято считать ее равной —2,

Остается выразить условие (3.1.1) через функцию напряжений

Введем еще в рассмотрение «вектор касательного напряжения»

Тогда, рассматривая некоторый контур имеем по (3.1.5)

так что если контур представляет одну из кривых семейства линий

и вектор в любой точке поперечного сечения имеет направление касательной к кривой проходящей через эту точку. Проекция вектора на касательную к равна

и если принадлежит семейству (3.1.11), то абсолютное значение этой проекции будет модулем вектора (тогда ):

Таким образом, в местах поперечного сечения, где кривые семейства (3.1.10) сближаются (расстояние между соседними кривыми уменьшается), имеет место концентрация касательных напряжений. Можно сказать, что густота кривых — траекторий касательных напряжений — служит мерой величины этих напряжений.

Касательное напряжение х достигает максимума на контуре области. Доказательство основано на положительности лапласиана имеем [см. (3.1.4), (II. 4.20)]

Если предположить, что максимум достигается в точке области, то в окрестности о этой точки и на малой окружности у с центром в

что противоречит

В большом числе задач максимум касательного напряжения реализуется в точке границы наиболее близкой к центру инерции сечения. Однако имеются исключения, на которые указал Сен-Венан.