2.2. Вектор перемещения. Формула Чезаро.
Использовав выражение (2.1.6) вектора
перепишем соотношение (1.2.14) в виде
Пусть С — путь интегрирования,
его начальная,
конечная точка;
точки на этом пути. Вектор-радиусы этих точек обозначаются
Тогда
Двойной интеграл известным приемом преобразуется в одинарный:
Приходим к формуле
Чезаро, определяющей вектор перемещения по линейному тензору деформации:
Здесь введен в рассмотрение тензор второго ранга
(несимметричный)
В этой записи
а штрихами отмечены величины в
пути интегрирования. Пользуясь диадным представлением этого тензора
можно придать формуле Чезаро вид
Вектор перемещения и, естественно, оказался определенным с точностью до слагаемого вектора
представляющего малое перемещение среды как твердого тела — геометрическую сумму перемещения
точки
и перемещения поворота ею
вокруг этой точки.
Интегрируемость выражения (2.2.2) проверяется непосредственно. Надо убедиться в выполнении условия (II. 6.5):
Здесь учтено тождество (1.5.11):
Полагая теперь
в тождестве
имеем
поскольку след ротора симметричного тензора (а значит, и транспонированного тензора) равен нулю. Подстановка в (2.2.7) дает
и вследствие произвольности вектора
приходим снова к условию (2.1.5).