III.3. Ортогональная криволинейная система координат. Базисные векторы.

Для ортогональной системы криволинейных координат выполнены равенства

Величины называются коэффициентами Ляме. Они равны модулям векторов

Ортогональный триэдр единичных векторов касательных к координатным линиям направленных в сторону возрастания

представляет векторный базис в принятой системе ортогональных криволинейных координат. Векторы очевидно, имеют также направления нормалей к координатным поверхностям

Векторы и тензоры задаются их представлениями в векторном базисе

но существенное отличие от декартовой ортогональной системы состоит в том, что векторы не сохраняют, подобно неизменных направлений, поэтому, например, компоненты постоянного вектора а меняются от точки к точке и, наоборот, из постоянства нельзя заключить, что а — постоянный вектор. Следствием (III. 3.3) являются формулы

причем последняя группа формул проверяется соотношением

что и требуется.

Квадрат линейного элемента по (III. 2.3) и (III. 3.1) в ортогональных криволинейных координатах задается выражением

Проведение действий векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах целиком связывается со знанием величин а в случае ортогональных криволинейных координат — коэффициентов Ляме Часто для вычисления последних можно избежать использования формул (III. 3.2), требующих применения соотношений связи (III. 1.1), заменив его рассмотрением элемента дуги координатной линии

Далее знак «не суммировать» будет опускаться, когда индекс входит в правую и левую части формулы.

Набла-оператор V, как и в п. II. 1, вводится с помощью определения градиента скалярного поля

так что по (III. 3.4)

и набла-оператор следует определить равенством

Элемент объема в ортогональных криволинейных координатах задается очевидным выражением

или

Здесь якобиан (III. 1.3).