3.16. Кручение тонкостенной трубы.

Рассматриваемый профиль ограничен извне контуром и изнутри контуром Контур проходящий посредине между принимается за опорную кривую, так что в системе криволинейных координат уравнения контуров могут быть записаны в виде (рис. 35)

где толщина стенки трубы. Функция напряжений задается в виде

— она обращается в нуль на и равна неизвестной постоянной на Такое задание приемлемо при малой толщине стенки. В мембранной аналогии контур несет диск, получающий поступательное перемещение а контур неподвижен и сама мембрана расположена в узкой кольцевой щели между этими контурами; задание в форме (3.16.1) оправдано соображением о пренебрежимости кривизной рельефа изогнутой мембраны поперек щели.

Рис. 35.

Минимизируемый функционал по (3.13.5), (3.15.6) записывается в виде

Через обозначим площади кольцевых областей между контурами очевидно, что площадь профиля. Имеем

так что

где площадь, ограниченная опорным контуром Вычисление дает

или, если пренебречь слагаемыми порядка

По условию минимума получаем

Выражение геометрической жесткости (оценка снизу) по (3.13.8) представляется в виде

Эти формулы в предположении плавной изменяемости толщины стенки и малости кривизны записывают в упрощенной форме:

что соответствует заданию функционала в виде 6/2

и пренебрежению разностью Надо добавить, что исходное задание функции напряжений в форме линейной зависимости (3.16.1) от ставит под сомнение пригодность уточнений, даваемых соотношениями (3.16.3) и (3.16.5). Например, задав в виде

так что на на ; и определив постоянные по условиям минимума функционала вычисляемого по (3.16.2), получим выражение геометрической жесткости С, отличающееся от (3.16.5).