4.2. Зависимость коэффициентов квадратичного закона от начального состояния.

Как в рассматриваются два начальных состояния — натуральное и получаемое из него преобразованием подобия (2.3.1) состояние у. Инварианты связываются при этом второй группой формул (5.6.3) гл. II, а соотношение (2.3.4) теперь должно быть записано в виде

Этому равенству можно удовлетворить, приняв

причем

Действительно, заменив их значениями через придем к соотношению (4.2.1).

Выражение тензора напряжений, когда начальным состоянием является -объем, составляется по формулам (2.4.3),

Переходя теперь к тензору деформации 8 и вводя аналогичные (4.1.8) обозначения

придем к выражению тензора напряжений, во всем повторяющему (4.1.9), но содержащему слагаемое, не обращающееся в нуль в -объеме (когда

где обозначено

а связь измененных постоянных получаемая сопоставлением (4.2.3), (4.2.5), (4.1.8), дается равенствами

Процесс деформирования при повышении температуры можно считать происходящим в два этапа: температура кубика, мысленно выделенного из среды с (условно) нулевой температурой, повышается до 0; это сопровождается сообщением деформации , задаваемой преобразованием подобия с коэффициентом подобия

причем не возникает напряженного состояния. Последнее создается реактивными воздействиями окружающей кубик среды и определяется порождаемой им деформацией , так что . Здесь — тензор деформации, равной нулю в среде с нулевой температурой, а шаровой тензор напряжения, определяющий всестороннее сжатие, которое должно быть сообщено кубику, чтобы при температуре сообщить ему размеры, соответствующие нулевой температуре.

Из сказанного следует, что в вышеприведенных формулах следует считать натуральным (ио-объемом) состояние мысленно выделенного кубика при температуре 0 (тогда а подобно преобразованным с коэффициентом

(v-объемом) — состояние при температуре тензор напряжения в этом состоянии по (4.2.6) равен

причем — значения модулей при их значения с при температуре 0 определяются по (4.2.8), (4.2.10).

При пренебрежении степенями выше первой по (4.2.11) имеем

Такое температурное слагаемое добавляется в выражение тензора напряжений линейной теории упругости — формула (3.4.8) гл. III.