3.7. Напряженное состояние в центре шара.
Вектор напряжения на произвольно ориентированной площадке в центре шара 
определяемый формулой (3.5.5), равен
— для определения напряжений в центре сферы достаточно знать только первый и третий члены разложения (3.5.1) нагрузки в ряд по сферическим векторам Лапласа.
3.8. Тепловые напряжения. Поверхность О сферы предполагается ненагруженной, а температурный режим — стационарным. Вектор перемещения, как в п. 3. 4, представляется в виде
где 
частное решение уравнения Пуассона (3.4.4), v - вектор, определяемый из однородных уравнений равновесия в перемещениях. Тензор напряжений по (1.14.1) гл. IV равен
где операция 
над вектором а определяется очевидным равенством
так что
Теперь, сославшись на (1.14.8) гл. IV и на (3.1.8), имеем
Но, как указывалось в п. 3.4,
где 
однородные гармонические полиномы 
степени, по которым разложена в ряд гармоническая функция 0, а 
однородные полиномы 
степени, так что
и, далее,
Вектор 
определяется краевым условием 
и гармонический вектор 
оказывается равным
где использовано уже известное по п. 3.4 представление вектора 
по сферическим векторам Лапласа (3.4.8). Теперь по (3.5.5) получаем
где введены обозначения гармонических векторов
Нетрудно проверить, что при линейном законе распределения температуры
вычисляемый по этим формулам вектор 
действительно оказывается равным нулю (п. 1.14 гл. IV). Поэтому суммирование надо начинать 
Напряжение в центре 
определяется заданием лишь второго слагаемого в разложении (3.4.12) температуры в ряд по гармоническим полиномам; остальные слагаемые, в том числе содержащие 
при 
обращаются в нуль. Вычисление, в котором используются формулы (3.8.5), (3.8.6), (3.4.8) и (VI. 2.17), дает
