6.5. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты.

Рассматривается преобразование

с помощью которого область параллелепипеда

представляющая прямоугольную плиту толщины ширины и длины (рис. 11), деформируется в цилиндрическую

панель — в область, ограниченную поверхностями коаксиальных цилиндров с радиусами

плоскостями

и плоскостями Предполагается, что эта деформация происходит с сохранением объема материала.

Компоненты меры деформации определяются по (3.3.6), причем декартовы координаты -объема принимаются за материальные; отличными от нуля оказываются лишь диагональные компоненты тензора

Рис. 11.

Из условия сохранения объема имеем

откуда после интегрирования, учитывая (6.5.3), находим

так что

Примем, далее, что в изгибаемой плите имеется плоскость такая, что отрезки прямых — на ней, которые, были параллельны в -объеме оси сохраняют в -объеме длину. Тогда по (6.5.5.) и (6.5.8)

и выражения компонент меры деформации представляются в виде

Учитывая (6.5.7), можно записать равенство (6.5.9) в форме квадратного уравнения относительно положительное решение которого дается формулой

Из нее и из (6.5.7) получаем отношение высоты прямоугольной полосы к длине дуги поперечного сечения внутреннего цилиндра:

Из приведенных формул следует, что при компоненты меры деформации отличаются от единицы слагаемыми порядка весьма малыми для тонкой плиты. Компоненты тензора деформации имеют этот же порядок, тогда как перемещения отнюдь не малы.