1.5. Решение в напряжениях. Зависимости Бельтрами.
Тензор напряжений 7, удовлетворяющий уравнениям статики в объеме, должен быть так выбран, чтобы вычисленный по нему тензор деформации удовлетворял условиям совместности (2.1.5) гл. II:
Используя уравнение статики, можно преобразовать это соотношение к легче обозримому и запоминаемому виду. Проделав это, придем к зависимостям Бельтрами (1892).
Далее, сославшись на формулы (II. 4.15) и уравнения равновесия (1.5.6) гл. I, можно представить компоненты
тензора
в виде
В единой записи этим равенствам можно придать вид
откуда следует инвариантное (бескоординатное) представление
Вообще для симметричного тензора второго ранга
Теперь, подставив (1.5.2), (1.5.3) в исходное соотношение (1.5.1), получим
Отсюда, образуя первый инвариант тензора в левой части этого равенства, придем к соотношению
которое, конечно, можно получить из (1.3.5), заменив
его выражением (3.1.3) гл. III через а.
Приходим к обычно принимаемой форме записи зависимостей Бельтрами:
При отсутствии массовых сил они принимают без труда запоминаемый вид
или, в компонентах в декартовой системе координат,