1.5. Решение в напряжениях. Зависимости Бельтрами.

Тензор напряжений 7, удовлетворяющий уравнениям статики в объеме, должен быть так выбран, чтобы вычисленный по нему тензор деформации удовлетворял условиям совместности (2.1.5) гл. II:

Используя уравнение статики, можно преобразовать это соотношение к легче обозримому и запоминаемому виду. Проделав это, придем к зависимостям Бельтрами (1892).

Далее, сославшись на формулы (II. 4.15) и уравнения равновесия (1.5.6) гл. I, можно представить компоненты тензора в виде

В единой записи этим равенствам можно придать вид

откуда следует инвариантное (бескоординатное) представление

Вообще для симметричного тензора второго ранга

Теперь, подставив (1.5.2), (1.5.3) в исходное соотношение (1.5.1), получим

Отсюда, образуя первый инвариант тензора в левой части этого равенства, придем к соотношению

которое, конечно, можно получить из (1.3.5), заменив его выражением (3.1.3) гл. III через а.

Приходим к обычно принимаемой форме записи зависимостей Бельтрами:

При отсутствии массовых сил они принимают без труда запоминаемый вид

или, в компонентах в декартовой системе координат,