8.4. Гипотрохоидное отверстие.
С помощью функции
область 
вне единичного круга конформно преобразуется в область 
плоскости z вне отверстия, образуемого контуром 
гипотрохоидой:
Рис. 44.
При 
возвращаемся к случаю эллипса, при целых 
получаем кривые, представляющие правильные криволинейные многоугольники со скругленными углами, — треугольник при 
квадрат при 
д. (рис. 44).
По (8.2.2), (8.2.7) имеем теперь
и выражения функций 
по (8.2.8) записываются в виде
Ограничимся далее рассмотрением случая ненагруженного края отверстия и задания напряженного состояния на бесконечности, в котором, чтобы не загромождать записей, примем 
Тогда
и по 
Сравнение коэффициентов при 
приводит к системе уравнений
Остальные коэффициенты 
равны нулю. Этим определяется полином 
и, далее, функция 
Остается найти входящую во второе уравнение (8.2.8) постоянную а; это достигается сравнением свободных членов в одном из краевых условий (8.1.6), (8.1.7); имеем
Этим вполне определяется функция 
Вычисление напряжений требует теперь лишь проведения громоздких алгебраических выкладок. Достаточно просто, как всегда, находится сумма нормальных напряжений, а по ней значение 
на контуре отверстия:
Здесь 
главные напряжения на бесконечности, а — угол оси с осью х.
