8.4. Гипотрохоидное отверстие.
С помощью функции
область
вне единичного круга конформно преобразуется в область
плоскости z вне отверстия, образуемого контуром
гипотрохоидой:
Рис. 44.
При
возвращаемся к случаю эллипса, при целых
получаем кривые, представляющие правильные криволинейные многоугольники со скругленными углами, — треугольник при
квадрат при
д. (рис. 44).
По (8.2.2), (8.2.7) имеем теперь
и выражения функций
по (8.2.8) записываются в виде
Ограничимся далее рассмотрением случая ненагруженного края отверстия и задания напряженного состояния на бесконечности, в котором, чтобы не загромождать записей, примем
Тогда
и по
Сравнение коэффициентов при
приводит к системе уравнений
Остальные коэффициенты
равны нулю. Этим определяется полином
и, далее, функция
Остается найти входящую во второе уравнение (8.2.8) постоянную а; это достигается сравнением свободных членов в одном из краевых условий (8.1.6), (8.1.7); имеем
Этим вполне определяется функция
Вычисление напряжений требует теперь лишь проведения громоздких алгебраических выкладок. Достаточно просто, как всегда, находится сумма нормальных напряжений, а по ней значение
на контуре отверстия:
Здесь
главные напряжения на бесконечности, а — угол оси с осью х.