5.6. Эллипсоидальная полость в неограниченной упругой среде.

Напряженное состояние на бесконечном удалении от полости задается тензором

главные оси которого параллельны осям эллипсоидальной поверхности полости

Тензор напряжений представляется суммой тензора и корректирующего тензора Т:

определяемого по краевому условию

выражающему, что поверхность полости не нагружена; через обозначены проекции внешней нормали к этой поверхности на координатные оси.

Вектор перемещения, соответствующий корректирующему тензору представляется через гармонические функции Папковича — Нейбера по формуле (1.4.10) гл. IV;

Сославшись также на формулу (1.4.17) гл. IV, можно после несложного преобразования привести краевые условия (5.6.4) к виду

Гармонические функции естественно задать потенциалами (VI. 8.9), принимающими на поверхности значения, пропорциональные координатам:

причем функции определены эллиптическими интегралами. Гармонический скаляр зададим в виде

Здесь потенциалы, обозначенные в п. VI. 8 через

тогда как — ньютонов потенциал (VI. 8.20):

В преобразованиях краевых условий (5.6.5) существенно используются равенства (III. 11.19), (III. 11.21), (III. 11.26) и выражения проекций вектора нормали

Здесь форма, обозначенная в п. III. И через

В рассмотрение вводится также форма

причем последнее соотношение легко проверить, обратившись к указанным только что равенствам. Для укорочения записей вводятся также обозначения форм

Выражения производных первого порядка от функций, содержащих и декартовы координаты, несложны; например, сославшись на (VI.7.5), (III. 11.26), имеем

Еще проще вычисление производной по нормали

С помощью формул (5.6.10) производятся преобразования вида

и т. д., позволяющие в записи первого краевого условия (5.6.5) вынести в правой части за скобку второго третьего Более громоздки выражения вторых производных; это вычисление облегчается тем, что вторые производные в краевых условиях (5.6.5) представляют находимые по правилу (5.6.17) производные по нормали от первых производных функций Папковича — Нейбера. Особенно просты вычисления, относящиеся к потенциалу (5.6.9); сославшись на соотношение (5.6.2), выполняющееся согласно (III. 11.9), при любом имеем

Следует еще заметить, что одно из слагаемых, включенных в состав В о, излишне, так как эти четыре функции связаны линейным соотношением (VI. 8.16).