IV.7. Главные оси симметричного тензора. Главные инварианты.

Основываясь на инвариантном определении п. 1.9 главных направлений тензора

где единичный вектор, имеем

Приходим к системе трех уравнений

в которой неизвестные связаны также соотношением

Запись характеристического уравнения тензора

отличается от только лишь тем, что роль компонент в ортогональной системе отошла к смешанным компонентам. Поэтому в выражения главных инвариантов достаточно внести измененные обозначения и далее использовать формулы преобразования (IV. 5.4). Получаем

Второй главный инвариант вычислим, сославшись на соотношение :

Здесь тензор по определяется выражением

причем

Тогда

что и требуется; так как — единичный тензор. Было бы ошибкой отождествить с контравариантными компонентами последние определяются по его ковариантным компонентам с помощью (IV. 5.4), тогда как определение требует построения матрицы, обратной

По (IV. 7.5) и (IV. 7.7) теперь получаем

Другую форму записи второго главного инварианта получим, основываясь на соотношении (I. 10.10). Имеем

и поэтому

Величину в скобках можно записать также в виде

так что по (IV. 4.2)

Конечно, эту же формулу можно получить непосредственно по (IV. 7.10), исиользовав определение (1.7.11) компонент обратного тензора.