IV.7. Главные оси симметричного тензора. Главные инварианты.
Основываясь на инвариантном определении п. 1.9 главных направлений тензора
где 
единичный вектор, имеем
Приходим к системе трех уравнений
в которой неизвестные 
связаны также соотношением
Запись характеристического уравнения тензора
отличается от 
только лишь тем, что роль компонент в ортогональной системе отошла к смешанным компонентам. Поэтому в выражения главных инвариантов 
достаточно внести измененные обозначения и далее использовать формулы преобразования (IV. 5.4). Получаем
Второй главный инвариант вычислим, сославшись на соотношение 
:
Здесь тензор 
по 
определяется выражением
причем
Тогда
что и требуется; так как 
— единичный тензор. Было бы ошибкой отождествить 
с контравариантными компонентами 
последние определяются по его ковариантным компонентам с помощью (IV. 5.4), тогда как определение 
требует построения матрицы, обратной 
По (IV. 7.5) и (IV. 7.7) теперь получаем
Другую форму записи второго главного инварианта получим, основываясь на соотношении (I. 10.10). Имеем
и поэтому
Величину в скобках можно записать также в виде
так что по (IV. 4.2)
Конечно, эту же формулу можно получить непосредственно по (IV. 7.10), исиользовав определение (1.7.11) компонент обратного тензора.
