2.4. Способ Галеркина (1915).

Для краевых задач, допускающих вариационную формулировку, в частности для задач теории упругости, этот приближенный способ интегрирования дифференциальных уравнений представляет упрощающее вычисление видоизменение метода Ритца. Приближение (2.3.1)

подставляется в выражение вариации потенциальной энергии системы (2.2.10), а не самой энергии (2.1.3); это исключает необходимость возводить в квадрат суммы (2.3.1) при вычислении А.

Заменив в (2.2.10) вариации их выражениями

в которых вариации искомых коэффициентов произвольны, придем к равенству

в котором проекции векторов определяемых формулами (2.2.6), (2.2.7), на координатные оси. Конечно, в выражениях заменяются их представлениями (2.3.1).

Теперь, приравняв нулю коэффициенты при произвольных вариациях получим систему линейных уравнений для неизвестных

Конечно, это лишь другая запись уравнений (2.3.6). Отличается лишь последовательность, в которой проводилось вычисление.

Часто под уравнениями способа Галеркина понимают систему уравнений

при составлении которой используются только дифференциальные уравнения задачи. Но при этом выбор аппроксимирующих решение функций должен быть подчинен всем не только кинематическим, но и статическим краевым условиям (2.2.12). Тогда поверхностные интегралы в системе уравнений (2.4.3) отпадают и она переходит в систему (2.4.4).