1.6. Напряженное состояние, создаваемое включением.
Повышение температуры элементарного объема, выделенного из окружающей его среды, не является единственным средством сообщения этому объему деформации, в которой не возникает напряженное состояние — так называемой свободной деформации. Можно представить себе другие физические процессы, сопровождающиеся свободной деформацией. Напряженное состояние, однако, возникает в упругой среде, когда в некотором ее объеме
имел место процесс, который вызвал бы свободную
деформацию, задаваемую тензором
если бы этот объем
был свободным. В результате повсюду в среде создается деформированное состояние, и описывающий ее тензор деформации связан с тензором напряжения сотношением
так как появление напряжений вызвано «деформацией»
Соотношение (1.6.1) является естественным обобщением закона Гука (3.4.10) гл. III с учетом температурного слагаемого
и может быть пояснено теми же соображениями, что и этот закон (см. конец п. 3.4 гл. III). Из него находим
и, далее,
Здесь через
обозначен «тензор напряжений», формально связываемый с тензором
законом Гука:
Введение этого «тензора напряжений» лишь сокращает запись формул — свободная деформация не сопровождается, как указывалось, напряжениями.
Рассмотрим два состояния упругой среды. В первом ее состоянии в точке
прилагается единичная сосредоточенная сила
а во втором — напряженное состояние при отсутствии внешних сил обязано своим возникновением имевшей место свободной деформации.
Сославшись на формулу (3.1.5) гл. IV и рассматривая объем
имеем соотношение
так как интеграл по поверхности
объема V при неограниченном расширении последнего стремится к нулю.
Во втором состоянии объема V внешние силы отсутствуют; поэтому
Тензор напряжений
во всем объеме V и тензор
в объеме
определяются по закону Гука:
тогда как в
по (1.6.3)
Поэтому
или
Возвращаясь к соотношениям (1.6.6), (1.6.5), имеем
так что
Выражая здесь
через тензор Кельвина-Сомильяна (3.5.9) гл. IV, имеем
и, отбросив произвольно задаваемый вектор
и ненужные теперь штрихи, приходим к равенству
Здесь интегрирование проводится по объему включения, подвергшегося свободной деформации. Далее будем считать, что эта деформация однородна - тензор
и, значит,
постоянны. Тогда, вспомнив еще выражение (3.5.9) гл. IV тензора Кельвина — Сомильяпа, придем к формуле (Эшелби)
Введя в рассмотрение потенциалы
можно ее записать также в виде
Функция
ньютонов потенциал притягивающих масс единичной плотности, и, поскольку
имеем
и по
а аналогичные (1.5.4) соотношения разрыва непрерывности на поверхности
объема
представляются в виде
так как компоненты тензора
представляют ньютоновы потенциалы с плотностью, равной соответствующим компонентам тензора
Компоненты тензора деформации, вычисляемые по (1.6.8), равны
В частности, когда тензор
шаровой, то
и по
Например, в температурном процессе
и при
объемное расширение, стесненное окружающей средой, составляет только 5/9 свободного, а в окружающей среде оно отсутствует.
В общем случае компоненты напряжения вычисляются через компоненты деформации (1.6.14) в среде, окружающей включение, по закону Гука в его обычной форме
гл. III], а во включении — по формуле (1.6.3). Вычисление требует знания обоих потенциалов
Для определения
достаточно знать только первый. Действительно, по (1.6.11) и (1.6.14) имеем
Отсюда и по (1.6.13), (1.6.15) находим разрыв 19- на поверхности включения:
так как
При
возвращаемся к (1.6.16).