1.6. Напряженное состояние, создаваемое включением.

Повышение температуры элементарного объема, выделенного из окружающей его среды, не является единственным средством сообщения этому объему деформации, в которой не возникает напряженное состояние — так называемой свободной деформации. Можно представить себе другие физические процессы, сопровождающиеся свободной деформацией. Напряженное состояние, однако, возникает в упругой среде, когда в некотором ее объеме имел место процесс, который вызвал бы свободную

деформацию, задаваемую тензором если бы этот объем был свободным. В результате повсюду в среде создается деформированное состояние, и описывающий ее тензор деформации связан с тензором напряжения сотношением

так как появление напряжений вызвано «деформацией» Соотношение (1.6.1) является естественным обобщением закона Гука (3.4.10) гл. III с учетом температурного слагаемого и может быть пояснено теми же соображениями, что и этот закон (см. конец п. 3.4 гл. III). Из него находим

и, далее,

Здесь через обозначен «тензор напряжений», формально связываемый с тензором законом Гука:

Введение этого «тензора напряжений» лишь сокращает запись формул — свободная деформация не сопровождается, как указывалось, напряжениями.

Рассмотрим два состояния упругой среды. В первом ее состоянии в точке прилагается единичная сосредоточенная сила а во втором — напряженное состояние при отсутствии внешних сил обязано своим возникновением имевшей место свободной деформации.

Сославшись на формулу (3.1.5) гл. IV и рассматривая объем имеем соотношение

так как интеграл по поверхности объема V при неограниченном расширении последнего стремится к нулю.

Во втором состоянии объема V внешние силы отсутствуют; поэтому

Тензор напряжений во всем объеме V и тензор в объеме определяются по закону Гука:

тогда как в по (1.6.3)

Поэтому

или

Возвращаясь к соотношениям (1.6.6), (1.6.5), имеем

так что

Выражая здесь через тензор Кельвина-Сомильяна (3.5.9) гл. IV, имеем

и, отбросив произвольно задаваемый вектор и ненужные теперь штрихи, приходим к равенству

Здесь интегрирование проводится по объему включения, подвергшегося свободной деформации. Далее будем считать, что эта деформация однородна - тензор и, значит, постоянны. Тогда, вспомнив еще выражение (3.5.9) гл. IV тензора Кельвина — Сомильяпа, придем к формуле (Эшелби)

Введя в рассмотрение потенциалы

можно ее записать также в виде

Функция ньютонов потенциал притягивающих масс единичной плотности, и, поскольку имеем

и по

а аналогичные (1.5.4) соотношения разрыва непрерывности на поверхности объема представляются в виде

так как компоненты тензора представляют ньютоновы потенциалы с плотностью, равной соответствующим компонентам тензора

Компоненты тензора деформации, вычисляемые по (1.6.8), равны

В частности, когда тензор шаровой, то

и по

Например, в температурном процессе и при объемное расширение, стесненное окружающей средой, составляет только 5/9 свободного, а в окружающей среде оно отсутствует.

В общем случае компоненты напряжения вычисляются через компоненты деформации (1.6.14) в среде, окружающей включение, по закону Гука в его обычной форме гл. III], а во включении — по формуле (1.6.3). Вычисление требует знания обоих потенциалов Для определения достаточно знать только первый. Действительно, по (1.6.11) и (1.6.14) имеем

Отсюда и по (1.6.13), (1.6.15) находим разрыв 19- на поверхности включения:

так как При возвращаемся к (1.6.16).