3.13. Вариационное определение функции напряжений.

Сохраняя все предпосылки полуобратного метода Сен-Венана, следует считать известными все соотношения задачи кручения, не содержащие варьируемой функции напряжений, в частности принять для перемещений на торцах выражения, следующие из (3.2.3):

По принципу минимума дополнительной работы (п. 2.5 гл. IV) напряженное состояние, реализуемое в упругом теле, отличается от всех статически возможных напряженных состояний (удовлетворяющих уравнениям статики в объеме и на поверхности) тем, что оно сообщает минимум функционалу дополнительной работе. В задаче кручения по Сен-Венану отличны от нуля только касательные напряжения поэтому представляется в виде

причем поверхностный интеграл берется по части границы, на которой перемещения заданы; в рассматриваемом случае она сводится к поверхности торца (на торце по (3.13.1) равны нулю . Вместе с тем система напряжений определяемых формулами (3.1.5), тождественно удовлетворяет уравнению статики в объеме (3.1.3); это позволяет записать выражение (3.13.2) в виде

При этом должно выполняться и уравнение статики на поверхности — контурное условие

Это значит, что на контурах, ограничивающих поперечное сечение минимизирующая функционал функция должна удовлетворять условиям (3.3.1). Но тогда, повторяя ранее проведенное вычисление, имеем

и минимизируемый функционал записывается в виде (отбрасываем ненужный постоянный множитель)

Вариация интеграла от суммы квадратов первых производных представляется в виде

где — совокупность контуров ограничивающих а и — вектор внешней к нормали (направленный вовне на и внутрь областей на контурах

Как уже говорилось, минимизирующая функционал функция должна принимать фиксированное значение (нуль) на и наперед неизвестные постоянные значения на Это значит, что

причем произвольны. Приходим к соотношению нормаль к внутрь

Итак, вариационная задача (3.13.5) при назначении функций сравнения удовлетворяющих условиям (3.3.1), эквивалентна ранее сформулированной краевой задаче для уравнения Пуассона (3.1.8); при этом на каждом из контуров решение вариационной задачи удовлетворяет условию теоремы о циркуляции, чем обеспечена однозначность депланации Уравнение -вариационное уравнение способа Галеркина (п. 2.4 гл. IV).

Без труда находится также значение минимума функционала Достаточно переписать (3.13.5) в виде

и заметить, что выражение в фигурных скобках равно нулю; чтобы убедиться в этом, достаточно повторить только что проведенное преобразование

Итак, по (3.4.2)

то есть достигаемый минимум равен взятой со знаком минус половине геометрической жесткости. Удовлетворив приближенно условию минимума с помощью функции и вычислив по ней геометрическую жесткость С, имеем

то есть С дает оценку снизу геометрической жесткости С.

Второй способ вариационной постановки задачи кручения основан на применении принципа минимума потенциальной

энергии (п. 2.2 гл. IV). Минимизируемый функционал записывается в виде (2.1.3) гл. IV:

где поверхности торцов, на которых в постановке задачи Сен-Венана силы предполагаются заданными. Но перемещения также определены исходными предпосылками решения задачи Сен-Венана и поэтому неварьируемы — второе слагаемое в выражении (3.13.9) отбрасывается. Вместе с тем

так что, не учитывая множитель приходим к задаче о минимизации интеграла

Его вариация равна

и уравнения Эйлера этой вариационной задачи сводятся к краевой задаче Неймана для уравнения Лапласа:

Из выражения следует, что минимизирующая функционал функция удовлетворяет краевому условию (3.13.12); поэтому, назначая выбор в приближенном решении задачи, можно не заботиться об этом условии.

Геометрическая жесткость при кручении может быть представлена через функцию в виде

Вместе с тем, сославшись на (3.7.1), (3.7.2), (3.2.4), имеем

Поэтому, возвращаясь к (3.13.10), имеем

так что достигаемый функционалом минимум равен половине геометрической жесткости. Поэтому, вычислив жесткость С с помощью приближенно минимизирующей функционал функции приходим к оценке геометрической жесткости сверху

Формулы (3.13.7) и (3.13.14), конечно, представляют в случае кручения следствия общих соотношений (2.2.4), (2.5.9) гл. IV.