8.2. Способ интегралов Коши.

Вспомнив характер разложений искомых функций

легко выяснить поведение в области функций

входящих через их краевые значения в условие (8.1.6). Имеем

причем голоморфная в круге функция (ее разложение в ряд содержит только неотрицательные степени Итак,

где — полином степени по зависящий линейно от неизвестных коэффициентов

Разложение в степенной ряд функции содержит только неотрицательные, а — только отрицательные степени ?.

Функция, соответствующая слагаемым левой части сопряженного краевого условия, представляется в виде

тогда как функции

представимы: первая — рядом, содержащим только положительные степени, а вторая — по отрицательным степеням с главной частью на бесконечности.

Сославшись теперь на правила вычисления интегралов типа Коши в п. 5.10, имеем

причем главную часть функции при легко выразить, возвращаясь к (8.2.2):

Собрав эти результаты, придем к соотношениям

Их правые части, вычисляемые по тем же правилам известны. Систему уравнений, определяющих входящие в левые части неизвестные коэффициенты можно получить сравнением коэффициентов в разложениях по степеням правой и левой частей равенств (8.2.8). Это будет далее пояснено на примерах.