3.9. Решения в конечном виде.

Большое число решений в конечном виде получено Сен-Венаном. Задается гармоническая функция и разыскиваются контуры, на которых

Ограничимся двумя примерами.

а) Равносторонний треугольник. Задаемся гармоническим полиномом третьей степени

Подобрав имеем

так что обращается в нуль на прямых

образующих равносторонний треугольник с высотой За (см. рис. 30, на котором изображено семейство траекторий касательных напряжений

Рис. 30.

Рис. 31.

б) Круглый стержень с продольной круговой выточкой (Вебер). Функция в полярных координатах задается в виде

Уравнение контура окружности радиуса а с круговой выточкой радиуса центр которой расположен на окружности, при выборе начала полярной системы координат в центре выточки можно записать в виде (рис. 31)

и поэтому функция

имеющая требуемый вид (3.9.3), является решением задачи кручения для рассматриваемой области. Касательное напряжение в точках оси х равно

и при в середине выточки, в конце диаметра, противоположном началу координат, имеем соответственно

и при

Наличие сколь угодно малой выточки служит причиной концентрации напряжений; касательные напряжения в середине выточки оказались вдвое больше расчетных для круглого вала.