3.9. Решения в конечном виде.
Большое число решений в конечном виде получено Сен-Венаном. Задается гармоническая функция
и разыскиваются контуры, на которых
Ограничимся двумя примерами.
а) Равносторонний треугольник. Задаемся гармоническим полиномом
третьей степени
Подобрав
имеем
так что
обращается в нуль на прямых
образующих равносторонний треугольник с высотой За (см. рис. 30, на котором изображено семейство траекторий касательных напряжений
Рис. 30.
Рис. 31.
б) Круглый стержень с продольной круговой выточкой (Вебер). Функция
в полярных координатах задается в виде
Уравнение контура окружности радиуса а с круговой выточкой радиуса
центр которой расположен на окружности, при выборе начала полярной системы координат в центре выточки можно записать в виде (рис. 31)
и поэтому функция
имеющая требуемый вид (3.9.3), является решением задачи кручения для рассматриваемой области. Касательное напряжение в точках оси х равно
и при
в середине выточки,
в конце диаметра, противоположном началу координат, имеем соответственно
и при
Наличие сколь угодно малой выточки служит причиной концентрации напряжений; касательные напряжения в середине выточки оказались вдвое больше расчетных
для круглого вала.